Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin İşlem – Modüler Aritmetik konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 5. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
9 kolay5 orta1 zor
5^1 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^30 toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: A — 0
5 ≡ -1 (mod 6) olduğundan tek üslü terimler 5, çift üslü terimler 1 kalanını verir. 1'den 30'a kadar 15 tek ve 15 çift üs bulunduğundan kalanlar toplamı 15·5 + 15·1 = 90'dır. 90 = 6·15 olduğundan kalan 0'dır. Yalnızca ilk terimin kalanına bakan öğrenci 5 (E şıkkı) der. Cevap 0.
5^100 sayısının 13 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: A — 1
5'in 13'e göre kalanları 5, 12, 8, 1 biçiminde ilerler; 5^4 ≡ 1 (mod 13)'tür. 100 = 4·25 olduğundan 5^100 = (5^4)^25 ≡ 1^25 ≡ 1 (mod 13) bulunur. Üssün 4 ile bölümünden kalan 0 çıkınca 5^0 yerine 5^1 alan öğrenci 5 (C şıkkı) der. Cevap 1.
Gerçel sayılarda a * b = a + 2b biçiminde tanımlanan işlem için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Doğru cevap: C — İşlemin değişme özelliği yoktur
Değişme özelliğini sınamak için bir karşıt örnek bulmak yeterlidir. 1 * 2 = 1 + 2·2 = 5 iken 2 * 1 = 2 + 2·1 = 4'tür; iki sonuç farklı olduğundan değişme özelliği yoktur. İşlemin tanımında toplama geçtiği için her işlemin değişmeli olduğunu varsayan, yani karşıt örnek denemeyen öğrenci A şıkkını seçer. Ayrıca (1 * 2) * 3 = 5 * 3 = 11 iken 1 * (2 * 3) = 1 * 8 = 17 olduğundan birleşme özelliği de yoktur; bu yüzden B de doğru değildir. Cevap C.
Gerçel sayılar kümesinde a ⊙ b = a·b - 2b biçiminde tanımlanan işlem veriliyor. Buna göre 5 ⊙ 3 kaçtır?
Doğru cevap: B — 9
a yerine 5, b yerine 3 yazılır: 5 ⊙ 3 = 5·3 - 2·3. 15 - 6 = 9 bulunur. Çıkarılan terimde b yerine a kullanan öğrenci 15 - 2·5 = 5 (A şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 9.
a ⊕ b = a^2 - b^2 biçiminde tanımlanan işleme göre 7 ⊕ 5 kaçtır?
Doğru cevap: D — 24
a yerine 7, b yerine 5 yazılır: 7 ⊕ 5 = 7^2 - 5^2. 49 - 25 = 24 bulunur. Önce farkı alıp sonra kare alan öğrenci (7 - 5)^2 = 4 (B şıkkı) sonucunu yazar. Cevap 24.
4^3 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: E — 4
4^3 = 64'tür. 64 = 5·12 + 4 olduğundan kalan 4'tür. Üs alma yerine çarpma yapan öğrenci 4·3 = 12 ve 12'nin 5 ile bölümünden kalan olan 2 (C şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 4.
4^11 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: C — 2
4'ün 7'ye göre kalanları 4, 2, 1 biçiminde 3 adımda bir tekrarlanır: 4^1 ≡ 4, 4^2 ≡ 2, 4^3 ≡ 1 (mod 7). 11 = 3·3 + 2 olduğundan 4^11 = (4^3)^3 · 4^2 ≡ 1·2 ≡ 2 (mod 7) bulunur. Üssü doğrudan modüle bölen, yani 11 yerine 11 mod 7 = 4 alan öğrenci 4^4 ≡ 4 (E şıkkı) der. Cevap 2.
Saat 20:00 iken 55 saat sonra saat kaç olur? (24 saatlik gösterimde saatin sayısal değeri isteniyor.)
Doğru cevap: B — 3
Saatler 24'e göre devrettiği için 20 + 55 = 75 sayısının 24 ile bölümünden kalanı bulunur. 75 = 24·3 + 3 olduğundan saat 03:00 olur. Yalnızca 55'in 24 ile bölümünden kalanını alıp başlangıç saatini eklemeyi unutan öğrenci 7 (D şıkkı) der. Cevap 3.
Bugün Perşembe olduğuna göre bugünden 30 gün sonra haftanın hangi günüdür?
Doğru cevap: E — Cumartesi
Haftanın günleri 7'şerli devrettiğinden 30 sayısının 7 ile bölümünden kalanına bakılır. 30 = 7·4 + 2 olduğundan Perşembe gününden 2 gün sonrası aranır. Perşembe + 2 = Cumartesi bulunur. Kalanı 1 alan öğrenci D şıkkındaki Cuma gününü işaretler. Cevap Cumartesi.
543 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: C — 3
Bir sayının 9 ile bölümünden kalanı, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir. 5 + 4 + 3 = 12 ve 12 = 9·1 + 3 olduğundan kalan 3'tür. Sayının 3 ile tam bölündüğünü görüp 9 ile de tam bölünür sanan öğrenci 0 (A şıkkı) der. Cevap 3.
a * b = 3a·b - 5 biçiminde tanımlanan işleme göre 2 * 5 kaçtır?
Doğru cevap: A — 25
a yerine 2, b yerine 5 yazılır: 2 * 5 = 3·2·5 - 5. 3·10 = 30 ve 30 - 5 = 25 bulunur. Sondaki 5'i çıkarmayı unutan öğrenci 30 (B şıkkı) sonucunu yazar. Cevap 25.
-23 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: D — 4
Kalan her zaman 0 ile bölenden bir eksiği arasında, yani negatif olmayan bir sayıdır. -23 = 9·(-3) + 4 yazılabildiğinden kalan 4'tür. Sayının işaretini yok sayıp 23'ün 9 ile bölümünden kalanı olan 5 (E şıkkı) cevabını vermek yaygın hatadır. Cevap 4.
Gerçel sayılar kümesinde a * b = a + b + a·b biçiminde tanımlanan işlemin birim (etkisiz) elemanı kaçtır?
Doğru cevap: B — 0
Birim eleman e için her a sayısında a * e = a olmalıdır. a + e + a·e = a eşitliğinden e·(1 + a) = 0 elde edilir; bu her a için sağlanacaksa e = 0 olmalıdır. Kontrol edilirse a * 0 = a + 0 + 0 = a'dır. İşlemde çarpma gördüğü için birim elemanı 1 (C şıkkı) sanan öğrenci yanılır. Cevap 0.
Sıfırdan farklı gerçel sayılarda a ⊕ b = (a·b)/4 biçiminde tanımlanan işleme göre 8 elemanının tersi kaçtır?
Doğru cevap: A — 2
Önce birim eleman bulunur: (a·e)/4 = a eşitliğinden e = 4'tür. 8 elemanının tersi t için 8 ⊕ t = 4, yani (8·t)/4 = 4 olmalıdır. 2t = 4 denkleminden t = 2 bulunur. Birim elemanı ters eleman sanan öğrenci 4 (B şıkkı) der. Cevap 2.
a * b = a - b + 1 biçiminde tanımlanan işleme göre (5 * 3) * 2 + 5 * (3 * 2) toplamı kaçtır?
Doğru cevap: D — 6
Önce 5 * 3 = 5 - 3 + 1 = 3 ve buradan (5 * 3) * 2 = 3 * 2 = 3 - 2 + 1 = 2 bulunur. Sonra 3 * 2 = 2 ve 5 * (3 * 2) = 5 * 2 = 5 - 2 + 1 = 4 bulunur. Toplam 2 + 4 = 6'dır. İşlemin birleşme özelliği olduğunu varsayıp iki ifadeyi eşit sanan ve yalnızca birini yazan öğrenci 2 (B şıkkı) der. Cevap 6.
