KPSS Pusulası — Ana Sayfa

Çözümlü sorular · okuma modu

İşlem – Modüler Aritmetik — Test 6

KPSS Matematik dersinin İşlem – Modüler Aritmetik konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 6. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.

0 kolay11 orta4 zor

▶ Bu testi interaktif çözTüm testler

  1. Soru 1

    Orta

    A = {0, 1, 2, 3} kümesinde ⊕ işlemi aşağıdaki tabloyla veriliyor. ⊕ | 0 1 2 3 --+------------ 0 | 0 1 2 3 1 | 1 2 3 0 2 | 2 3 0 1 3 | 3 0 1 2 Buna göre 3 elemanının tersi kaçtır?

    • A)0
    • B)1
    • C)2
    • D)3
    • E)4
    Çözümü göster

    Doğru cevap: B — 1

    Tablonun 0 satırı ile 0 sütunu başlıklarla aynı olduğundan birim eleman 0'dır. 3 elemanının tersi, 3 ⊕ x = 0 eşitliğini sağlayan x'tir; 3 satırında 0 değeri 1 sütununda yer alır. Dolayısıyla tersi 1'dir. Bir elemanın tersini kendisi sanan öğrenci 3 (D şıkkı) der. Cevap 1.

  2. Soru 2

    Orta

    7^2025 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

    • A)0
    • B)1
    • C)2
    • D)3
    • E)4
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 2

    7 ≡ 2 (mod 5) olduğundan 7^2025 ≡ 2^2025 (mod 5) yazılır. 2'nin 5'e göre kalanları 2, 4, 3, 1 biçiminde 4 adımda tekrarlar; 2025 = 4·506 + 1'dir. Kalan, dizinin birinci terimi olan 2'dir. Üssü 5'e bölüp 2025 mod 5 = 0 alan öğrenci 7^0 = 1 (B şıkkı) der. Cevap 2.

  3. Soru 3

    Orta

    5x ≡ 3 (mod 8) denklemini sağlayan x tam sayısının 8 ile bölümünden kalanı kaçtır?

    • A)1
    • B)3
    • C)5
    • D)6
    • E)7
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — 7

    5·5 = 25 ≡ 1 (mod 8) olduğundan 5'in mod 8'e göre tersi yine 5'tir. Denklemin iki yanı 5 ile çarpılır: 25x ≡ 15 (mod 8), yani x ≡ 7 (mod 8) bulunur. Kontrol edilirse 5·7 = 35 = 8·4 + 3'tür. Sağ taraftaki 3'ü doğrudan cevap sanan öğrenci 3 (B şıkkı) der. Cevap 7.

  4. Soru 4

    Orta

    Bir yılın 15 Nisan günü Salı olduğuna göre aynı yılın 15 Mayıs günü haftanın hangi günüdür?

    • A)Pazar
    • B)Salı
    • C)Çarşamba
    • D)Perşembe
    • E)Cuma
    Çözümü göster

    Doğru cevap: D — Perşembe

    Nisan ayı 30 gün çektiğinden 15 Nisan ile 15 Mayıs arasında tam 30 gün vardır. 30 = 7·4 + 2 olduğundan Salı gününden 2 gün sonrası aranır. Salı + 2 = Perşembe bulunur. Nisan ayını 31 gün sanan öğrenci 31 = 7·4 + 3 hesabıyla E şıkkındaki Cuma gününü işaretler. Cevap Perşembe.

  5. Soru 5

    Orta

    Bir makineye 9 günde bir bakım yapılmaktadır. İlk bakım Salı günü yapıldığına göre 20. bakım haftanın hangi günü yapılır?

    • A)Pazar
    • B)Pazartesi
    • C)Salı
    • D)Perşembe
    • E)Cuma
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — Cuma

    İlk bakımdan 20. bakıma kadar 19 aralık geçer; bu da 19·9 = 171 gündür. 171 = 7·24 + 3 olduğundan Salı gününden 3 gün sonrası aranır. Salı + 3 = Cuma bulunur. Aralık sayısını 19 yerine 20 alan öğrenci 180 = 7·25 + 5 hesabıyla A şıkkındaki Pazar gününü söyler. Cevap Cuma.

  6. Soru 6

    Orta

    5 ile bölümünden 3, 4 ile bölümünden 1 kalanını veren en küçük iki basamaklı doğal sayı kaçtır?

    • A)13
    • B)18
    • C)23
    • D)28
    • E)33
    Çözümü göster

    Doğru cevap: A — 13

    5 ile bölümünden 3 kalanını veren sayılar 13, 18, 23, 28, ... biçiminde 5'er 5'er artar. Bunlardan 4 ile bölümünden 1 kalanını vereni aranır: 13 = 4·3 + 1 olduğundan koşul sağlanır. İkinci koşulu "4 ile bölümünden 3 kalanını verir" biçiminde okuyan öğrenci 23 (C şıkkı) cevabını verir. Cevap 13.

  7. Soru 7

    Orta

    3^n sayısının 7 ile bölümünden kalanları n = 1, 2, 3, ... için sırasıyla yazıldığında bu kalanlar kaç adımda bir tekrar etmeye başlar?

    • A)2
    • B)3
    • C)4
    • D)6
    • E)7
    Çözümü göster

    Doğru cevap: D — 6

    Kalanlar sırasıyla 3^1 ≡ 3, 3^2 ≡ 2, 3^3 ≡ 6, 3^4 ≡ 4, 3^5 ≡ 5 ve 3^6 ≡ 1 biçimindedir. 3^7 ≡ 3 olduğundan dizi baştan tekrar eder; periyot 6'dır. Modülüs 7 olduğu için periyodun da 7 olacağını sanan öğrenci 7 (E şıkkı) der. Cevap 6.

  8. Soru 8

    Orta

    1 + 2 + 3 + ... + 100 toplamının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

    • A)0
    • B)3
    • C)4
    • D)5
    • E)6
    Çözümü göster

    Doğru cevap: B — 3

    Toplam n·(n + 1)/2 formülüyle 100·101/2 = 5050 bulunur. 5050 = 7·721 + 3 olduğundan kalan 3'tür. Formülde 2'ye bölmeyi unutup 100·101 = 10100 ile işlem yapan öğrenci 10100 = 7·1442 + 6 hesabıyla 6 (E şıkkı) der. Cevap 3.

  9. Soru 9

    Orta

    a ⊗ b = a·b - a - b biçiminde tanımlanan işlemde 4 ⊗ x = 11 olduğuna göre x kaçtır?

    • A)3
    • B)4
    • C)5
    • D)6
    • E)7
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 5

    4 ⊗ x = 4·x - 4 - x = 3x - 4 yazılır. 3x - 4 = 11 denkleminden 3x = 15 ve x = 5 bulunur. İşlemdeki -b terimini +b yazan öğrenci 5x - 4 = 11 denklemini kurar ve 3 (A şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 5.

  10. Soru 10

    Orta

    Gerçel sayılarda a * b = a + b + 1 biçiminde tanımlanan işlem için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

    • A)İşlemin değişme özelliği vardır
    • B)İşlemin birleşme özelliği vardır
    • C)İşlemin birim elemanı -1'dir
    • D)3 elemanının tersi -5'tir
    • E)İşlemin birim elemanı 0'dır
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — İşlemin birim elemanı 0'dır

    Birim eleman e için a + e + 1 = a olmalıdır; buradan e = -1 bulunur. Dolayısıyla birim elemanın 0 olduğunu söyleyen E şıkkı yanlıştır; gerçekten a * 0 = a + 1 ≠ a'dır. 3 elemanının tersi t için 3 + t + 1 = -1, yani t = -5'tir; toplama işlemine benzediği için birim elemanı 0 sanan öğrenci C şıkkındaki doğru ifadeyi yanlış sanar. Cevap İşlemin birim elemanı 0'dır.

  11. Soru 11

    Zor

    2^(2^10) sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

    • A)1
    • B)2
    • C)4
    • D)7
    • E)8
    Çözümü göster

    Doğru cevap: D — 7

    2'nin 9'a göre kalanları 2, 4, 8, 7, 5, 1 biçiminde 6 adımda tekrarlar. Bu nedenle üssün 6 ile bölümünden kalanına bakılır: 2^10 = 1024 ve 1024 = 6·170 + 4'tür. Kalan, dizinin dördüncü terimi olan 7'dir. Periyodu 6 yerine 3 sanıp 1024 mod 3 = 1 alan öğrenci 2 (B şıkkı) der. Cevap 7.

  12. Soru 12

    Zor

    1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 20^2 toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

    • A)2
    • B)3
    • C)5
    • D)7
    • E)8
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — 8

    Toplam n·(n + 1)·(2n + 1)/6 formülüyle 20·21·41/6 = 2870 bulunur. 2870 sayısının rakamları toplamı 2 + 8 + 7 + 0 = 17 ve 17 = 9·1 + 8 olduğundan kalan 8'dir. Formülde 6'ya bölmeyi unutan öğrenci 20·21·41 = 17220 ile çalışır ve 3 (B şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 8.

  13. Soru 13

    Zor

    7^2024 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

    • A)1
    • B)3
    • C)5
    • D)7
    • E)9
    Çözümü göster

    Doğru cevap: A — 1

    Birler basamağı, sayının 10 ile bölümünden kalanına eşittir. 7'nin kuvvetlerinin birler basamağı 7, 9, 3, 1 biçiminde 4 adımda tekrarlar; 2024 = 4·506'dır. Üs 4'ün tam katı olduğundan dizinin dördüncü terimi olan 1 alınır. Üssün 4 ile bölümünden kalanı 0 çıkınca dizinin birinci terimine dönen öğrenci 7 (D şıkkı) der. Cevap 1.

  14. Soru 14

    Zor

    Bir x tam sayısı için x ≡ 2 (mod 5) ve x ≡ 3 (mod 7) olduğuna göre 0 ≤ x < 35 aralığındaki x değeri kaçtır?

    • A)12
    • B)17
    • C)22
    • D)23
    • E)32
    Çözümü göster

    Doğru cevap: B — 17

    İlk koşuldan x = 5k + 2 yazılır ve ikinci koşulda yerine konur: 5k + 2 ≡ 3 (mod 7). 5k ≡ 1 (mod 7) olur; 5·3 = 15 ≡ 1 olduğundan k ≡ 3 (mod 7) ve en küçük k = 3'tür. x = 5·3 + 2 = 17 bulunur; gerçekten 17 = 7·2 + 3'tür. Koşulları yer değiştirip x ≡ 3 (mod 5) ve x ≡ 2 (mod 7) çözen öğrenci 23 (D şıkkı) der. Cevap 17.

  15. Soru 15

    Orta

    Gerçel sayılarda a ⊗ b = a + b - 6 biçiminde tanımlanan işlemde x ⊗ x = x olduğuna göre x kaçtır?

    • A)2
    • B)3
    • C)4
    • D)6
    • E)12
    Çözümü göster

    Doğru cevap: D — 6

    x ⊗ x = x + x - 6 = 2x - 6 yazılır. 2x - 6 = x denkleminden x = 6 bulunur. Denklemi 2x - 6 = 0 biçiminde kuran, yani sağ taraftaki x'i sıfır sanan öğrenci 3 (B şıkkı) der. Cevap 6.

Sponsorlu