Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin İşlem – Modüler Aritmetik konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
4 kolay5 orta6 zor
Bugün Pazar olduğuna göre bugünden 45 gün sonra haftanın hangi günüdür?
Doğru cevap: B — Çarşamba
Günler 7'şer 7'şer devrettiğinden 45 sayısının 7 ile bölümünden kalanına bakılır. 45 = 7·6 + 3 olduğundan Pazar gününden 3 gün sonrası aranır. Pazar + 3 = Çarşamba bulunur. Kalanı 4 hesaplayan öğrenci C şıkkındaki Perşembe gününü işaretler. Cevap Çarşamba.
7^2 sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 1
7^2 = 49'dur. 49 = 12·4 + 1 olduğundan kalan 1'dir. Tabanı doğrudan kalan sanan, yani 7 (E şıkkı) diyen öğrenci üs almayı hesaba katmamıştır. Cevap 1.
a ⊞ b = 5a - 3b biçiminde tanımlanan işleme göre 4 ⊞ 3 kaçtır?
Doğru cevap: D — 11
a yerine 4, b yerine 3 yazılır: 4 ⊞ 3 = 5·4 - 3·3. 20 - 9 = 11 bulunur. İkinci terimde 3 ile çarpmayı unutup 20 - 3 = 17 (E şıkkı) diyen öğrenci hata yapar. Cevap 11.
Bir doğal sayının 8 ile bölümünden kalan 5'tir. Buna göre bu sayının 2 fazlasının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: E — 7
Sayı x ise x ≡ 5 (mod 8) yazılır. Her iki tarafa 2 eklenirse x + 2 ≡ 7 (mod 8) bulunur; 7 < 8 olduğundan kalan doğrudan 7'dir. Sayıya eklenen 2'nin kalanı değiştirmediğini düşünen öğrenci 5 (D şıkkı) der. Cevap 7.
Gerçel sayılarda a ⊕ b = a + b + 5 biçiminde tanımlanan işlemin birim elemanı e, -2 elemanının tersi t olduğuna göre e + t toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A — -13
Birim eleman için a + e + 5 = a olmalıdır; buradan e = -5 bulunur. -2 elemanının tersi t için -2 + t + 5 = -5 yazılır ve t = -8 elde edilir. İstenen toplam -5 + (-8) = -13'tür. Yalnızca ters elemanı yazan öğrenci -8 (C şıkkı) der. Cevap -13.
a ∇ b = 2a - 3b biçiminde tanımlanan işlemde 8 ∇ x = 4 olduğuna göre x ∇ 2 kaçtır?
Doğru cevap: C — 2
Önce x bulunur: 8 ∇ x = 2·8 - 3x = 16 - 3x yazılır. 16 - 3x = 4 denkleminden 3x = 12 ve x = 4 elde edilir. İstenen ise x ∇ 2 = 2·4 - 3·2 = 8 - 6 = 2'dir. İlk adımda bulunan 4 (D şıkkı) değerini cevap sanmak, sorunun ikinci basamağını atlamak demektir. Cevap 2.
Gerçel sayılarda a * b = 2a + 2b - a·b - 2 biçiminde tanımlanan işlemin birim (etkisiz) elemanı kaçtır?
Doğru cevap: E — 1
Birim eleman e için her a sayısında a * e = a olmalıdır: 2a + 2e - a·e - 2 = a. Düzenlenirse a - a·e + 2e - 2 = 0, yani a·(1 - e) - 2·(1 - e) = 0 ve (1 - e)·(a - 2) = 0 elde edilir. Bu eşitliğin her a için sağlanması ancak e = 1 iken mümkündür; gerçekten a * 1 = 2a + 2 - a - 2 = a'dır. Sabit terime bakıp e = 0 (D şıkkı) diyen öğrenci eşitliğin her a için sağlanması gerektiğini gözden kaçırır. Cevap 1.
Bir kutudaki bilyeler 7'şerli sayıldığında 4, 9'arlı sayıldığında 5 bilye artmaktadır. Buna göre kutudaki bilye sayısı en az kaçtır?
Doğru cevap: A — 32
Bilye sayısı x için x ≡ 4 (mod 7) ve x ≡ 5 (mod 9) yazılır. İkinci koşuldan x = 9k + 5 alınır ve birincide yerine konur: 9k + 5 ≡ 4 (mod 7), yani 2k ≡ 6 (mod 7) ve k ≡ 3 (mod 7) bulunur. En küçük k = 3 için x = 9·3 + 5 = 32 olur; gerçekten 32 = 7·4 + 4'tür. Kalanları yer değiştirip x ≡ 5 (mod 7) ve x ≡ 4 (mod 9) çözen öğrenci 40 (B şıkkı) der. Cevap 32.
3 ile bölümünden 2, 5 ile bölümünden 3, 7 ile bölümünden 2 kalanını veren en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
Doğru cevap: B — 23
3 ve 7 ile bölümünden aynı 2 kalanını veren sayılar x ≡ 2 (mod 21) koşulunu sağlar: 2, 23, 44, 65, ... Bunlardan 5 ile bölümünden 3 kalanını vereni aranır: 23 = 5·4 + 3 olduğundan koşul sağlanır. Yalnızca ilk iki koşulu denetleyen öğrenci 8 (A şıkkı) der; oysa 8 sayısının 7 ile bölümünden kalan 1'dir. Cevap 23.
Bugün Salı olduğuna göre bugünden 3^20 gün sonra haftanın hangi günüdür?
Doğru cevap: B — Perşembe
3'ün 7'ye göre kalanları 3, 2, 6, 4, 5, 1 biçiminde 6 adımda tekrarlar. 20 = 6·3 + 2 olduğundan 3^20 ≡ 3^2 ≡ 2 (mod 7) bulunur; yani Salı gününden 2 gün sonrası aranır. Salı + 2 = Perşembe olur. Kalanı 3 hesaplayan öğrenci C şıkkındaki Cuma gününü işaretler. Cevap Perşembe.
a ⊕ b = a + b - 3 ve a ⊗ b = a·b biçiminde tanımlanan işlemler veriliyor. Buna göre 2 ⊗ (3 ⊕ 5) kaçtır?
Doğru cevap: A — 10
Önce parantez içi hesaplanır: 3 ⊕ 5 = 3 + 5 - 3 = 5. Sonra 2 ⊗ 5 = 2·5 = 10 bulunur. ⊕ işlemindeki -3 terimini gözden kaçırıp 3 + 5 = 8 alan öğrenci 2·8 = 16 (D şıkkı) sonucunu yazar. Cevap 10.
3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^12 toplamının 13 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: A — 0
3^3 = 27 ≡ 1 (mod 13) olduğundan kalanlar 3, 9, 1 biçiminde üçerli gruplar hâlinde tekrarlar. Her grubun kalanları toplamı 3 + 9 + 1 = 13 ≡ 0 (mod 13)'tür ve 12 terim tam 4 grup oluşturur. Toplam 4·13 = 52 ≡ 0 (mod 13) olur. Yalnızca ilk terimin kalanına bakan öğrenci 3 (C şıkkı) der. Cevap 0.
3^(2^10) sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 4
3'ün 11'e göre kalanları 3, 9, 5, 4, 1 biçiminde 5 adımda tekrarlar. Bu nedenle üssün 5 ile bölümünden kalanına bakılır: 2^10 = 1024 ve 1024 = 5·204 + 4'tür. Kalan, dizinin dördüncü terimi olan 4'tür. Üssü periyoda değil modüle bölerek 1024 mod 11 = 1 alan öğrenci 3 (A şıkkı) der. Cevap 4.
Bir öğrenci 6 günde bir, arkadaşı 8 günde bir kütüphaneye gitmektedir. İkisi de bugün, yani Pazartesi günü kütüphanededir. Buna göre ikisinin birlikte kütüphanede olacağı ilk gün haftanın hangi günüdür?
Doğru cevap: E — Perşembe
İkisinin aynı gün gitmesi için geçen gün sayısı hem 6'nın hem 8'in katı olmalıdır; bu da EKOK(6, 8) = 24 gündür. 24 = 7·3 + 3 olduğundan Pazartesi gününden 3 gün sonrası aranır. Pazartesi + 3 = Perşembe bulunur. EKOK yerine 6·8 = 48 kullanan öğrenci 48 = 7·6 + 6 hesabıyla C şıkkındaki Pazar gününü işaretler. Cevap Perşembe.
1! + 2! + 3! + ... + 100! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Doğru cevap: A — 3
5! = 120'den itibaren tüm faktöriyellerin birler basamağı 0'dır, çünkü çarpanlar arasında hem 2 hem 5 vardır. Bu nedenle yalnızca 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 toplamına bakmak yeterlidir. Toplamın birler basamağı 3'tür. 4! terimini hesaba katmayan öğrenci 1 + 2 + 6 = 9 (E şıkkı) der. Cevap 3.
