KPSS Pusulası — Ana Sayfa

Çözümlü sorular · okuma modu

İşlem – Modüler Aritmetik — Test 7

KPSS Matematik dersinin İşlem – Modüler Aritmetik konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 7. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.

5 kolay9 orta1 zor

▶ Bu testi interaktif çözTüm testler

  1. Soru 1

    Orta

    A = {a, b, c, d} kümesinde ∗ işlemi aşağıdaki tabloyla veriliyor. ∗ | a b c d --+------------ a | c d a b b | d a b c c | a b c d d | b c d a Buna göre bu işlemin birim (etkisiz) elemanı hangisidir?

    • A)a
    • B)b
    • C)c
    • D)d
    • E)Birim eleman yoktur
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — c

    Birim eleman, satırı ve sütunu başlık sırasının aynısı olan elemandır. c satırı a, b, c, d biçiminde yazıldığı gibi c sütununda da a ∗ c = a, b ∗ c = b, c ∗ c = c ve d ∗ c = d olur. Bu nedenle birim eleman c'dir. Tabloda ilk sırada yer aldığı için birim elemanı a sanan öğrenci A şıkkını seçer; oysa a ∗ a = c'dir. Cevap c.

  2. Soru 2

    Orta

    a ◊ b = a^2 + b biçiminde tanımlanan işleme göre (2 ◊ 3) ◊ 1 - 2 ◊ (3 ◊ 1) farkı kaçtır?

    • A)0
    • B)14
    • C)24
    • D)36
    • E)50
    Çözümü göster

    Doğru cevap: D — 36

    2 ◊ 3 = 4 + 3 = 7 ve (2 ◊ 3) ◊ 1 = 7 ◊ 1 = 49 + 1 = 50 bulunur. 3 ◊ 1 = 9 + 1 = 10 ve 2 ◊ (3 ◊ 1) = 2 ◊ 10 = 4 + 10 = 14 bulunur. Fark 50 - 14 = 36'dır. İşlemin birleşme özelliği olduğunu varsayan öğrenci farkı 0 (A şıkkı) kabul eder. Cevap 36.

  3. Soru 3

    Orta

    11^50 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

    • A)0
    • B)1
    • C)2
    • D)4
    • E)6
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 2

    11 ≡ 4 (mod 7) olduğundan 11^50 ≡ 4^50 (mod 7) yazılır. 4'ün kalanları 4, 2, 1 biçiminde 3 adımda tekrarlar; 50 = 3·16 + 2'dir. Kalan, dizinin ikinci terimi olan 2'dir. Üssün 7 ile bölümünden kalanını alıp 50 mod 7 = 1 diyen öğrenci 4 (D şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 2.

  4. Soru 4

    Orta

    2^2024 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

    • A)0
    • B)2
    • C)4
    • D)6
    • E)8
    Çözümü göster

    Doğru cevap: D — 6

    2'nin kuvvetlerinin birler basamağı 2, 4, 8, 6 biçiminde 4 adımda tekrarlar. 2024 = 4·506 olduğundan üs 4'ün tam katıdır ve dizinin dördüncü terimi alınır. Birler basamağı 6'dır. Üs 4'ün katı olunca dizinin başına dönüp 2 (B şıkkı) diyen öğrenci hata yapar. Cevap 6.

  5. Soru 5

    Orta

    7x ≡ 2 (mod 9) denklemini sağlayan x tam sayısının 9 ile bölümünden kalanı kaçtır?

    • A)2
    • B)4
    • C)5
    • D)7
    • E)8
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — 8

    7·4 = 28 ≡ 1 (mod 9) olduğundan 7'nin mod 9'a göre tersi 4'tür. Denklemin iki yanı 4 ile çarpılır: 28x ≡ 8 (mod 9), yani x ≡ 8 (mod 9) bulunur. Kontrol edilirse 7·8 = 56 = 9·6 + 2'dir. Sağ taraftaki 2'yi doğrudan cevap sanan öğrenci 2 (A şıkkı) der. Cevap 8.

  6. Soru 6

    Orta

    Bir yılın 1 Haziran günü Cumartesi olduğuna göre aynı yılın 1 Temmuz günü haftanın hangi günüdür?

    • A)Cumartesi
    • B)Pazartesi
    • C)Salı
    • D)Çarşamba
    • E)Perşembe
    Çözümü göster

    Doğru cevap: B — Pazartesi

    Haziran ayı 30 gün çektiğinden 1 Haziran ile 1 Temmuz arasında 30 gün vardır. 30 = 7·4 + 2 olduğundan Cumartesi gününden 2 gün sonrası aranır. Cumartesi + 2 = Pazartesi bulunur. Haziran'ı 31 gün sanan öğrenci 31 = 7·4 + 3 hesabıyla C şıkkındaki Salı gününü işaretler. Cevap Pazartesi.

  7. Soru 7

    Orta

    Bir doğal sayının 6 ile bölümünden kalan 4'tür. Buna göre bu sayının karesinin 6 ile bölümünden kalan kaçtır?

    • A)0
    • B)1
    • C)2
    • D)3
    • E)4
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — 4

    Sayı x ise x ≡ 4 (mod 6) yazılır. Her iki taraf kare alınırsa x^2 ≡ 16 (mod 6) olur ve 16 = 6·2 + 4 olduğundan x^2 ≡ 4 (mod 6) bulunur. Kalanın karesini alıp 16'yı doğrudan yazmak yerine kalanı ikiye katlayan öğrenci 2 (C şıkkı) gibi yanlış sonuçlara ulaşır. Cevap 4.

  8. Soru 8

    Orta

    1 + 3 + 5 + ... + 99 toplamının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?

    • A)0
    • B)1
    • C)2
    • D)4
    • E)6
    Çözümü göster

    Doğru cevap: D — 4

    1'den 99'a kadar 50 tane tek sayı vardır ve ardışık tek sayıların toplamı 50^2 = 2500'dür. 2500 = 8·312 + 4 olduğundan kalan 4'tür. Terim sayısını 50 yerine 49 alan öğrenci 49^2 = 2401 ile çalışır ve 2401 = 8·300 + 1 hesabıyla 1 (B şıkkı) der. Cevap 4.

  9. Soru 9

    Orta

    2^n sayısının 10 ile bölümünden kalanları n = 1, 2, 3, ... için sırasıyla yazıldığında bu kalanlar kaç adımda bir tekrar etmeye başlar?

    • A)2
    • B)3
    • C)4
    • D)5
    • E)10
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 4

    Kalanlar sırasıyla 2, 4, 8, 6 biçiminde ilerler ve 2^5 ≡ 2 (mod 10) olduğundan dizi baştan tekrar eder. Bu nedenle periyot 4'tür. Modülüs 10 olduğu için periyodun da 10 olacağını sanan öğrenci 10 (E şıkkı) der. Cevap 4.

  10. Soru 10

    Zor

    A = {1, 2, 3, 4} kümesinde a ⊗ b = (a·b) sayısının 5 ile bölümünden kalanı biçiminde bir işlem tanımlanıyor. Buna göre 3 elemanının tersi kaçtır?

    • A)0
    • B)1
    • C)2
    • D)3
    • E)4
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 2

    Birim eleman e için (a·e) sayısının 5 ile bölümünden kalanı a olmalıdır; bu koşulu e = 1 sağlar. 3 elemanının tersi t için 3 ⊗ t = 1, yani 3t ≡ 1 (mod 5) olmalıdır. t = 2 için 3·2 = 6 = 5·1 + 1 olduğundan ters eleman 2'dir. Birim elemanı ters eleman sanan öğrenci 1 (B şıkkı) der. Cevap 2.

  11. Soru 11

    Kolay

    Gerçel sayılarda a ∆ b = (a + b)^2 - a·b biçiminde tanımlanan işlem veriliyor. Buna göre 3 ∆ 4 kaçtır?

    • A)37
    • B)42
    • C)49
    • D)55
    • E)61
    Çözümü göster

    Doğru cevap: A — 37

    a yerine 3, b yerine 4 yazılır: 3 ∆ 4 = (3 + 4)^2 - 3·4. 7^2 = 49 ve 49 - 12 = 37 bulunur. Sondaki a·b çarpımını çıkarmayı unutan öğrenci 49 (C şıkkı) sonucunu yazar. Cevap 37.

  12. Soru 12

    Kolay

    a ⊙ b = a·b + a - b biçiminde tanımlanan işleme göre 6 ⊙ 2 kaçtır?

    • A)8
    • B)12
    • C)16
    • D)20
    • E)24
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 16

    a yerine 6, b yerine 2 yazılır: 6 ⊙ 2 = 6·2 + 6 - 2. 12 + 6 - 2 = 16 bulunur. İşaretleri karıştırıp a·b + b - a biçiminde hesaplayan öğrenci 12 + 2 - 6 = 8 (A şıkkı) der. Cevap 16.

  13. Soru 13

    Kolay

    89 sayısının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?

    • A)1
    • B)2
    • C)3
    • D)4
    • E)5
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — 5

    89'dan küçük en büyük 6 katı aranır: 6·14 = 84'tür. 89 - 84 = 5 olduğundan kalan 5'tir. 6·15 = 90 alıp 90 - 89 = 1 (A şıkkı) diyen öğrenci, kalanın bölünenden küçük katına göre hesaplanacağını gözden kaçırmıştır. Cevap 5.

  14. Soru 14

    Kolay

    3^5 sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?

    • A)1
    • B)2
    • C)3
    • D)5
    • E)7
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 3

    3^2 = 9 ≡ 1 (mod 8) olduğundan üsler ikişerli gruplanır. 3^5 = (3^2)^2·3 ≡ 1·3 ≡ 3 (mod 8) bulunur. Grupladıktan sonra artan tek çarpanı hesaba katmayan öğrenci 1 (A şıkkı) der. Cevap 3.

  15. Soru 15

    Kolay

    Saat 11:00 iken 100 saat sonra saat kaç olur? (24 saatlik gösterimde saatin sayısal değeri isteniyor.)

    • A)3
    • B)7
    • C)11
    • D)15
    • E)19
    Çözümü göster

    Doğru cevap: D — 15

    Saatler 24'e göre devrettiğinden 11 + 100 = 111 sayısının 24 ile bölümünden kalanı bulunur. 111 = 24·4 + 15 olduğundan saat 15:00 olur. Günün 24 değil 12 saatlik olduğunu varsayıp 111'in 12 ile bölümünden kalanını alan öğrenci 3 (A şıkkı) der. Cevap 15.

Sponsorlu