Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Kümeler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
4 kolay5 orta6 zor
Bir sınıftaki öğrencilerden 22'si gitar, 19'u piyano çalabilmektedir. Her iki enstrümanı da çalabilen 9 öğrenci olduğuna göre en az bir enstrüman çalabilen kaç öğrencidir?
Doğru cevap: B — 32
s(G∪P) = s(G) + s(P) - s(G∩P) bağıntısı kullanılır. 22 + 19 - 9 = 32 bulunur. Ortak elemanları bir kez fazla saymamak için kesişimin çıkarılması gerekir; bunu unutan öğrenci 22 + 19 = 41 (D şıkkı) der. Cevap 32.
A\B = {1, 3} ve A∩B = {2, 5, 7} olduğuna göre s(A) kaçtır?
Doğru cevap: C — 5
A kümesi, B ile ortak olan ve olmayan elemanlarının birleşimidir: A = (A\B)∪(A∩B). Bu iki küme ayrık olduğundan s(A) = 2 + 3 = 5 bulunur. Yalnızca kesişimi sayan öğrenci 3 (A şıkkı) der. Cevap 5.
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} kümeleri veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Doğru cevap: D — A ile B denk kümelerdir
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. s(A) = s(B) = 3 olduğundan A ile B denktir; ancak elemanları farklı olduğu için eşit değillerdir. Denklik ile eşitliği karıştıran öğrenci A şıkkını seçer. Ayrıca ortak eleman bulunmadığından A∩B boş kümedir ve s(A×B) = 9'dur. Cevap D şıkkıdır: A ile B denk kümelerdir.
Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz kümedir?
Doğru cevap: C — {x : x rasyonel sayı, 0 < x < 1}
Bir kümenin eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilebiliyorsa küme sonludur. 0 ile 1 arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı bulunduğundan C şıkkındaki küme sonsuzdur. Aralık gösterimi gördüğü için her aralıkta sonsuz eleman olduğunu sanan öğrenci B şıkkını sonsuz zannedebilir; oysa -4 < x < 9 koşulunu sağlayan tam sayılar -3'ten 8'e kadar olan 12 sayıdan ibarettir. Cevap C şıkkıdır: {x : x rasyonel sayı, 0 < x < 1}.
A ve B herhangi iki küme olmak üzere (A∩B)' ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Doğru cevap: E — A'∪B'
De Morgan kurallarına göre bir kesişimin tümlemesi, tümlemelerin birleşimine eşittir. Yani (A∩B)' = A'∪B' yazılır. Tümlemeleri alırken işlemi de değiştirmeyi unutan öğrenci B şıkkındaki A'∩B' ifadesini seçer. Cevap E şıkkıdır: A'∪B'.
A ve B kümelerinin alt küme sayıları toplamı 80'dir. s(A) > s(B) olduğuna göre s(A) - s(B) farkı kaçtır?
Doğru cevap: A — 2
s(A) = a ve s(B) = c olmak üzere 2^a + 2^c = 80 yazılır. 80 sayısı ikinin farklı kuvvetlerinin toplamı olarak yalnızca 64 + 16 biçiminde yazılabilir; buradan a = 6 ve c = 4 bulunur. Fark a - c = 2'dir. Kümelerden birinin eleman sayısı olan 4 (C şıkkı) doğrudan cevap sanılmamalıdır. Cevap 2.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin, en büyük elemanı 4 olan kaç alt kümesi vardır?
Doğru cevap: A — 8
En büyük eleman 4 ise 4 alt kümede bulunmalı, 5 ve 6 ise bulunmamalıdır. Geriye kalan 1, 2, 3 elemanlarının her biri alt kümede olabilir ya da olmayabilir: 2^3 = 8. 4 elemanının bulunma zorunluluğunu göz ardı edip 1, 2, 3, 4 elemanları için 2^4 = 16 (C şıkkı) demek hatalıdır. Cevap 8.
Bir turnuvaya katılan 130 sporcunun her biri koşu, yüzme ve bisiklet branşlarından en az birinde yarışmıştır. Koşuda 74, yüzmede 68, bisiklette 55 sporcu yarışmıştır. Üç branşta da yarışan 12 sporcu olduğuna göre yalnızca bir branşta yarışan kaç sporcudur?
Doğru cevap: D — 75
74 + 68 + 55 = 197 toplamında bir branşta yarışanlar 1, iki branşta yarışanlar 2, üç branşta yarışanlar 3 kez sayılır. Fazla sayım 197 - 130 = 67 olup bu değer t2 + 2·12 = t2 + 24'e eşittir; buradan t2 = 43 bulunur. Yalnızca bir branşta yarışanlar t1 = 130 - 43 - 12 = 75 sporcudur. Tam olarak iki branşta yarışanların sayısı olan 43 (A şıkkı) ile karıştırılmamalıdır. Cevap 75.
60 kişilik bir grupta 38 kişi İngilizce, 25 kişi Almanca bilmektedir. Bu dillerden hiçbirini bilmeyenlerin sayısı, her iki dili de bilenlerin sayısının yarısı olduğuna göre her iki dili de bilen kaç kişidir?
Doğru cevap: D — 6
Her iki dili de bilenler x ise hiçbirini bilmeyenler x/2 olur. En az bir dil bilenler 38 + 25 - x olduğundan 38 + 25 - x + x/2 = 60 yazılır. 63 - x/2 = 60 denkleminden x = 6 bulunur. Hiçbirini bilmeyenlerin sayısı olan 3 (B şıkkı) cevap sanılmamalıdır. Cevap 6.
Evrensel küme E olmak üzere s(E) = 60, s(A) = 35, s(B) = 28 ve s(A∪B) = 48 olduğuna göre s(A'∩B) kaçtır?
Doğru cevap: E — 13
Önce kesişim bulunur: 48 = 35 + 28 - s(A∩B) eşitliğinden s(A∩B) = 15'tir. A'∩B kümesi, B\A kümesine eşittir: s(B\A) = 28 - 15 = 13. Kesişim değerinde durup 15 demek ya da tümlemeyi 60 - 48 = 12 (D şıkkı) biçiminde yorumlamak yaygın hatalardır. Cevap 13.
A = {1, 2, 3} ve B = {1, 2} kümeleri veriliyor. A×B kümesinin bileşenleri birbirine eşit olan kaç elemanı vardır?
Doğru cevap: A — 2
A×B kümesinin elemanları (a, b) biçimindedir; a ∈ A ve b ∈ B'dir. Bileşenlerin eşit olması için a = b olmalıdır; bunu sağlayan ikililer (1, 1) ve (2, 2)'dir. 3 sayısı B kümesinde bulunmadığından (3, 3) ikilisi yoktur. Kartezyen çarpımın eleman sayısı olan 6 (E şıkkı) ile karıştırılmamalıdır. Cevap 2.
s(A) = 18, s(B) = 15 ve s(A∩B) = 7 olduğuna göre s(A\B) + s(B\A) toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A — 19
s(A\B) = 18 - 7 = 11 ve s(B\A) = 15 - 7 = 8'dir. İstenen toplam 11 + 8 = 19 bulunur. Bu değer, birleşimden kesişimin çıkarılmasına eşittir. Doğrudan birleşimi hesaplayıp 18 + 15 - 7 = 26 (B şıkkı) demek soruyu yanlış yanıtlamaktır. Cevap 19.
Bir sınıftaki 60 öğrencinin her biri A, B ve C dergilerinden en az birini okumaktadır. A dergisini 34, B dergisini 30, C dergisini 26 öğrenci okumaktadır. Tam olarak iki dergi okuyanların sayısı, üç dergiyi de okuyanların sayısının 3 katı olduğuna göre yalnızca bir dergi okuyan kaç öğrencidir?
Doğru cevap: E — 36
34 + 30 + 26 = 90 toplamında iki dergi okuyanlar 2, üç dergi okuyanlar 3 kez sayılır. Fazla sayım 90 - 60 = 30 olup t2 + 2·t3 = 30'dur; t2 = 3·t3 konulursa 5·t3 = 30 ve t3 = 6, t2 = 18 bulunur. Yalnızca bir dergi okuyanlar 60 - 18 - 6 = 36 öğrencidir. Fazla sayım değeri olan 30 (C şıkkı) doğrudan cevap sanılmamalıdır. Cevap 36.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin, 1 ve 2 elemanlarından hiçbirini bulundurmayan kaç alt kümesi vardır?
Doğru cevap: E — 128
1 ve 2 elemanları alt kümeye alınmayacağından bu iki eleman tamamen dışarıda bırakılır. Geriye kalan 7 elemanın her biri için "var" ya da "yok" seçeneği bulunur: 2^7 = 128. Dışarıda bırakılan eleman sayısını 3 sanan öğrenci 2^6 = 64 (C şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 128.
s(A) = s(B) + 3 ve s(A×B) = 40 olduğuna göre s(A∪B) en az kaçtır?
Doğru cevap: E — 8
s(B) = c dersek s(A) = c + 3 ve c·(c + 3) = 40 olur; c = 5 için 5·8 = 40 sağlanır. Buna göre s(A) = 8 ve s(B) = 5'tir. Birleşim en küçük değerini B ⊆ A iken alır ve bu durumda s(A∪B) = s(A) = 8 olur. Kümeler ayrık olsaydı en büyük değer 13 bulunurdu; s(B) değeri olan 5 (C şıkkı) ise birleşimin alabileceği bir değer değildir. Cevap 8.
