Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Bölme – Bölünebilme konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 2. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
0 kolay9 orta6 zor
2^5 · 3^2 · 5 biçiminde çarpanlarına ayrılmış bir sayının kaç tane pozitif tam böleni vardır?
Doğru cevap: B — 36
Bölen sayısı, asal çarpanların üslerinin her birine 1 eklenip çarpılmasıyla bulunur: (5 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 6 · 3 · 2 = 36. 30 seçeneği, son çarpanın üssünü hesaba katmayıp 5 · 3 · 2 işlemini yapan hatadan gelir.
360 sayısının kaç tane tek pozitif tam böleni vardır?
Doğru cevap: A — 6
360 = 2^3 · 3^2 · 5 biçimindedir. Tek bölenler 2 çarpanı içermez; yani 3^2 · 5 = 45 sayısının bölenleridir. Bu bölenlerin sayısı (2 + 1)(1 + 1) = 6'dır. 24 seçeneği 360'ın tüm bölenlerinin sayısıdır; tek olma şartı uygulanmamıştır.
600 sayısının pozitif tam bölenlerinden kaç tanesi 4 ile tam bölünür?
Doğru cevap: C — 12
4 ile bölünen bölenler 4k biçimindedir; 4k sayısı 600'ü bölüyorsa k sayısı 600 / 4 = 150'yi böler. 150 = 2 · 3 · 5^2 için bölen sayısı 2 · 2 · 3 = 12'dir. 24 seçeneği 600'ün tüm bölenlerinin sayısıdır; 4'e bölünme şartı uygulanmamıştır.
72A3B beş basamaklı sayısı hem 5 hem de 9 ile tam bölünmektedir. Buna göre A · B çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: D — 5
5 ile bölünme için B = 0 veya B = 5 olmalıdır. Rakamlar toplamı 7 + 2 + A + 3 + B = 12 + A + B ise 9'un katı olmalıdır. B = 0 için A = 6 (çarpım 0), B = 5 için A = 1 (çarpım 5) bulunur; en büyük değer 5'tir. 0 seçeneği, yalnızca B = 0 durumunu inceleyip diğer durumu atlayan eksik çözümdür.
A doğal sayısı 6 ile bölündüğünde bölüm B, kalan 4 olmaktadır. B sayısı 5 ile bölündüğünde ise bölüm 3, kalan 2 olmaktadır. Buna göre A kaçtır?
Doğru cevap: E — 106
Önce ikinci bölmeden B = 5 · 3 + 2 = 17 bulunur. Ardından A = 6 · B + 4 = 6 · 17 + 4 = 102 + 4 = 106 olur. 102 seçeneği, birinci bölmedeki 4 kalanını eklemeyi unutan hatadan gelir.
-47 sayısının 6 ile bölümünden kalan kaçtır? (Kalan negatif olamaz.)
Doğru cevap: B — 1
Kalan 0 ile 5 arasında olmalıdır. 6 · (-8) = -48 ve -48 + 1 = -47 olduğundan -47 = 6 · (-8) + 1 yazılır. Aranan kalan 1'dir. 5 seçeneği, işareti dikkate almadan 47'nin 6 ile bölümünden kalanı yazan hatadır.
4 ile bölündüğünde 3, 6 ile bölündüğünde 5 kalanını veren en küçük üç basamaklı doğal sayı kaçtır?
Doğru cevap: B — 107
Her iki bölmede de kalan, bölenden 1 eksiktir; yani sayının 1 fazlası hem 4'e hem 6'ya tam bölünür. Sayı 12k - 1 biçimindedir: 11, 23, ..., 95, 107. İlk üç basamaklı değer 107'dir. 100 seçeneği, kalan şartlarını denetlemeden en küçük üç basamaklı sayıyı yazma hatasıdır.
1'den 200'e kadar olan (200 dahil) doğal sayılardan kaç tanesi 3 veya 5 ile tam bölünür?
Doğru cevap: A — 93
3'ün katları 66, 5'in katları 40 tanedir. 15'in katları olan 13 sayı her iki kümede de sayılmıştır. Bu nedenle 66 + 40 - 13 = 93 bulunur. 106 seçeneği, ortak katları bir kez çıkarmayı unutan hatadır.
A = 2^3 · 3^k biçimindeki bir sayının 16 tane pozitif tam böleni vardır. Buna göre k kaçtır?
Doğru cevap: A — 3
Bölen sayısı (3 + 1)(k + 1) = 16 eşitliğini verir. Buradan 4(k + 1) = 16, yani k + 1 = 4 ve k = 3 bulunur. 4 seçeneği, üslere 1 eklemeyi unutup 4 · 4 = 16 kurgusundan k = 4 diyen hatadır.
3^101 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: D — 5
3'ün kuvvetlerinin 7 ile bölümünden kalanlar 3, 2, 6, 4, 5, 1 biçiminde 6 adımda devreder. 101 = 6 · 16 + 5 olduğundan aranan kalan, devrin 5. terimi olan 5'tir. 3 seçeneği, devir uzunluğunu yanlış alıp devrin ilk terimine dönen hatadan gelir.
Bir bölme işleminde bölen 12'dir. Bölüm ile kalan birbirine eşit olduğuna göre bölünen en çok kaç olabilir?
Doğru cevap: B — 143
Bölünen = 12 · B + K ve B = K'dir. Kalan bölenden küçük olmak zorunda olduğundan K en çok 11 olabilir. K = B = 11 için bölünen 12 · 11 + 11 = 143 olur. 144 seçeneği, kalanı 12 alarak kalan < bölen kuralını çiğneyen hatadır.
Bir sınıfın öğrencileri 5'erli sıralar hâlinde dizildiğinde 3 öğrenci, 7'şerli sıralar hâlinde dizildiğinde 5 öğrenci açıkta kalmaktadır. Sınıf mevcudu 100'den az olduğuna göre sınıfta en çok kaç öğrenci vardır?
Doğru cevap: C — 68
Sayı hem 5k + 3 hem de 7m + 5 biçimindedir. Şartları sağlayan sayılar 33, 68, 103, ... olmak üzere 35'er artar. 100'den küçük en büyüğü 68'dir; gerçekten 68 = 5 · 13 + 3 ve 68 = 7 · 9 + 5'tir. 33 seçeneği, en küçük çözümü yazıp 'en çok' koşulunu atlayan hatadır.
Tam 15 tane pozitif tam böleni olan en küçük doğal sayı kaçtır?
Doğru cevap: D — 144
15 = 15 · 1 = 5 · 3 yazılabildiğinden sayı p^14 ya da p^4 · q^2 biçimindedir. En küçük değer için büyük üs küçük asala verilir: 2^4 · 3^2 = 144 (2^14 çok büyüktür). 324 seçeneği, üsleri ters yerleştiren (2^2 · 3^4) hatadan gelir; bölen sayısı yine 15'tir ama sayı daha büyüktür.
4A5B2 beş basamaklı sayısı hem 4 hem de 9 ile tam bölünmektedir. Buna göre A ve B rakamları için kaç farklı sayı elde edilir?
Doğru cevap: E — 6
4 ile bölünme için son iki basamağın oluşturduğu B2 sayısı 4'ün katı olmalıdır; bu da B'nin tek rakam olmasını gerektirir. 9 için 4 + A + 5 + B + 2 = 11 + A + B toplamı 9'un katı, yani A + B = 7 veya A + B = 16 olmalıdır. Uygun (A, B) çiftleri (6,1), (4,3), (2,5), (0,7), (9,7), (7,9) olmak üzere 6 tanedir. 5 seçeneği, B = 7 için iki ayrı A değeri bulunduğunu göremeyen hatadır.
Bir A doğal sayısının 15 ile bölümünden kalan 7'dir. Buna göre 3A + 5 sayısının 15 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: C — 11
A = 15k + 7 yazılır; buradan 3A + 5 = 45k + 21 + 5 = 45k + 26 olur ve 45k terimi 15'e tam bölünür. 26 = 15 · 1 + 11 olduğundan aranan kalan 11'dir. 26 seçeneği, son adımdaki sadeleştirmeyi yapmayan hatadır; kalan 15'ten küçük olmalıdır.
