Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Basit Eşitsizlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 2. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
0 kolay9 orta6 zor
x^2 - 9 < 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: C — 5
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) olduğundan eşitsizlik -3 < x < 3 aralığında sağlanır. Bu aralıktaki tam sayılar -2, -1, 0, 1, 2 olmak üzere 5 tanedir. Uç noktalar da sayılırsa 7 bulunur ve E seçeneği işaretlenir; oysa x = ±3 için ifade 0 olur, negatif olmaz.
2 < 3x - 4 ≤ 11 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: B — 3
Her üç tarafa 4 eklenir: 6 < 3x ≤ 15. Sonra 3'e bölünür: 2 < x ≤ 5. Bu aralıktaki tam sayılar 3, 4, 5 olmak üzere 3 tanedir. Sol uç kapalı sanılıp x = 2 de sayılırsa C seçeneği bulunur.
-5 < x ≤ 3 aralığındaki x tam sayıları için x^2 ifadesinin alabileceği kaç farklı değer vardır?
Doğru cevap: C — 5
Aralıktaki tam sayılar -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3'tür. Kareleri sırasıyla 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9 olur. Farklı değerler kümesi 0, 1, 4, 9, 16 olduğundan 5 farklı değer vardır. Zıt işaretli sayıların karelerinin eşit olduğu fark edilmeyip 8 tam sayı için 8 farklı değer sayılırsa E seçeneği işaretlenir.
-4 ≤ x ≤ -1 ve 2 ≤ y ≤ 6 olduğuna göre, x - y farkının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: A — -10
Fark en küçük olsun diye x en küçük, y en büyük seçilir: x - y ≥ -4 - 6 = -10. Bu değere x = -4, y = 6 için ulaşıldığından en küçük değer -10'dur. y'nin en küçüğü alınıp -4 - 2 = -6 ya da x - y yerine -1 - 2 = -3 hesaplanırsa D gibi yanlış seçenekler çıkar.
x > 0 olmak üzere, 1/x > 1/3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: B — 2
x > 0 olduğundan iki taraf 3x pozitif sayısıyla çarpılabilir: 3 > x, yani 0 < x < 3. Bu aralıktaki tam sayılar 1 ve 2 olmak üzere 2 tanedir. x = 3 de çözüme katılırsa 1/3 > 1/3 yanlışına düşülür ve C gibi büyük bir sayı işaretlenir.
x^2 ≤ 16 ve x > -2 koşullarını birlikte sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: C — 6
x^2 ≤ 16 eşitsizliği -4 ≤ x ≤ 4 demektir. x > -2 koşuluyla kesiştirilince -2 < x ≤ 4 elde edilir. Buradaki tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 6 tanedir. İkinci koşul unutulup yalnızca -4 ≤ x ≤ 4 sayılırsa 9 bulunur ve E seçeneği işaretlenir.
3x + 2 < 5x - 8 < 3x + 12 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı x değeri kaçtır?
Doğru cevap: D — 9
Eşitsizlik ikiye ayrılır. Soldan: 3x + 2 < 5x − 8 → 10 < 2x → x > 5. Sağdan: 5x − 8 < 3x + 12 → 2x < 20 → x < 10. İki koşul aynı anda sağlanmalıdır; ortak çözüm (kesişim) 5 < x < 10 aralığıdır. Buradaki en büyük tam sayı 9'dur. Sağ uç kapalı sanılıp x = 10 alınırsa E seçeneği işaretlenir.
2 < a < 5 ve 3 < b < 7 olduğuna göre, 2a - b ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Doğru cevap: D — 6
2 < a < 5 eşitsizliği 2 ile çarpılırsa 4 < 2a < 10 olur. 3 < b < 7 ise -7 < -b < -3 demektir. Taraf tarafa toplanınca -3 < 2a - b < 7 bulunur. Uç açık olduğundan en büyük tam sayı 6'dır. Uçlar kapalı sanılıp 2·5 - 3 = 7 yazılırsa E seçeneği işaretlenir. a'yı 2 ile çarpmak unutulup a - b hesaplanırsa -5 < a - b < 2 bulunur, en büyük tam sayı 1 olur ve A seçeneği bulunur.
-2 ≤ x ≤ 3 olduğuna göre, x^2 + 1 ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: D — 10
x^2 ifadesi en büyük değerini mutlak değerce en büyük x için alır. |-2| = 2 ve |3| = 3 olduğundan x = 3 seçilir. Böylece x^2 + 1 = 9 + 1 = 10 bulunur. 1 eklemek unutulursa C seçeneği, x = -2 uç noktası en büyük sanılırsa A seçeneği işaretlenir.
x^2 · (x - 3) · (x + 2) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: C — 6
Kökler -2, 0 (çift katlı) ve 3'tür. İşaret tablosunda x = 0 çift katlı olduğu için ifade burada işaret değiştirmez. İfade x < -2 ve x > 3 için pozitif, -2 < x < 3 için negatiftir; köklerde ise sıfırdır. '≤' istendiğinden çözüm [-2, 3] olur ve buradaki tam sayılar -2, -1, 0, 1, 2, 3 olmak üzere 6 tanedir. x = 0 kökü çözüme katılmaz sanılırsa B seçeneği işaretlenir; oysa x = 0 ifadeyi sıfır yaptığı için çözümdür.
((x - 1)^2 · (x + 3)) / (x - 4) > 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (-∞, -3) ∪ (4, ∞)
Kökler -3, 1 (çift katlı) ve 4'tür. (x - 1)^2 çarpanı çift katlı olduğundan x = 1'de işaret değişmez. İşaret tablosuna göre ifade x < -3 ve x > 4 için pozitiftir. Kesin eşitsizlik olduğundan -3, 1 ve 4 çözüme alınmaz; ayrıca x = 4 paydayı sıfır yapar. Çözüm (-∞, -3) ∪ (4, ∞) olur. -3 çözüme katılırsa C seçeneği, işaret tablosu ters okunursa A seçeneği bulunur.
a ve b gerçel sayılar olmak üzere -3 < a < 1 ve 2 < b < 6'dır. Buna göre a/b ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A — -1
a/b oranı en küçük değerine a en küçük, b en küçük iken yaklaşır: -3/2 = -1,5. En büyük değerine ise a en büyük, b en küçük iken yaklaşır: 1/2 = 0,5. Yani a/b ifadesi (-3/2, 1/2) aralığındadır. Bu aralıktaki tam sayılar -1 ve 0 olup toplamları -1'dir. Yalnızca 0 sayılıp -1 gözden kaçırılırsa B seçeneği işaretlenir.
x^2 - 2x - 8 < 0 ve x^2 - x - 6 > 0 eşitsizliklerini birlikte sağlayan x gerçel sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (3, 4)
Birinci eşitsizlik (x - 4)(x + 2) < 0 biçimindedir ve -2 < x < 4 verir. İkincisi (x - 3)(x + 2) > 0 biçimindedir ve x < -2 ya da x > 3 verir. İki çözümün kesişimi (3, 4) aralığıdır. Yalnızca birinci eşitsizliğin çözümü yazılırsa B seçeneği, kesişim yerine yanlış parça alınırsa A seçeneği bulunur.
(x - 1)/(x^2 - 4) ≥ 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (-2, 1] ∪ (2, ∞)
Payın kökü 1, paydanın kökleri -2 ve 2'dir. Bu üç sayı sayı doğrusunu dörde ayırır. İşaret tablosunda ifade x < -2 için negatif, -2 < x < 1 için pozitif, 1 < x < 2 için negatif, x > 2 için pozitiftir. '≥' istendiğinden payın kökü olan 1 dâhil edilir, paydayı sıfır yapan -2 ve 2 dışlanır: (-2, 1] ∪ (2, ∞). Paydanın kökleri de çözüme katılırsa A seçeneği, işaret tablosu ters okunursa B seçeneği çıkar.
(2x - 5)/(x - 4) < 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: A — 1
Payın kökü 5/2, paydanın kökü 4'tür. Bölüm yalnızca bu iki kök arasında negatif olduğundan 5/2 < x < 4 bulunur. Bu aralıktaki tek tam sayı 3 olduğundan cevap 1'dir. Uçlar çözüme katılıp x = 4 de sayılırsa B seçeneği işaretlenir; oysa x = 4 paydayı sıfır yapar.
