Basit Eşitsizlikler — Test 5

Doğru cevap: E — 15

Fark için ikinci eşitsizlik ters çevrilir: -2 < y < 1 ise -1 < -y < 2. Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanır: 1 - 1 < x - y < 4 + 2, yani 0 < x - y < 6. Bu aralıktaki tam sayılar 1, 2, 3, 4, 5 olup toplamları 15'tir. y'nin en küçük değerini -2 yerine -1 sanan öğrenci aralığı 0 < x - y < 5 bulur ve 1 + 2 + 3 + 4 = 10 der. Cevap E.

Doğru cevap: E — (-∞, 3)

Pay 1 pozitif olduğundan bölümün negatif olması için paydanın negatif olması gerekir: x - 3 < 0. Buradan x < 3 bulunur; x = 3 değeri ifadeyi tanımsız yaptığından çözüme alınmaz. Çözüm kümesi (-∞, 3) aralığıdır. İşareti ters düşünüp paydanın pozitif olması gerektiğini sanan öğrenci x > 3 bulur ve (3, ∞) yazan A şıkkını işaretler. Cevap E.

Doğru cevap: A — a + 5 < b + 5

Bir eşitsizliğin iki tarafına aynı sayı eklenir ya da iki taraftan aynı sayı çıkarılırsa yön değişmez; bu nedenle a < b iken a + 5 < b + 5 her zaman doğrudur. Aynı gerekçeyle a - 3 < b - 3 olur; bu yüzden B seçeneğindeki a - 3 > b - 3 ifadesi yanlıştır. Negatif bir sayıyla çarpma ya da bölmede yön değişeceğinden -a > -b ve a/(-4) > b/(-4) olur. Pozitif 2 ile çarpmada yön korunduğu için 2a < 2b'dir; yönün her çarpmada değiştiğini sanan öğrenci 2a > 2b ifadesini seçer. Cevap A.

Doğru cevap: B — (-∞, -5]

Bilinmeyenler solda, sabitler sağda toplanır: 3x - x ≤ -6 - 4, yani 2x ≤ -10. Her iki taraf pozitif 2'ye bölünür ve yön korunur: x ≤ -5. Eşitsizlik '≤' olduğu için x = -5 değeri de çözüme dâhildir; bu nedenle uç nokta köşeli parantezle alınır ve çözüm kümesi (-∞, -5] olur. Eşitliğin de sağlandığını gözden kaçırıp uç noktayı dışarıda bırakan öğrenci (-∞, -5) yazan A şıkkını işaretler. Cevap B.

Doğru cevap: D — 4

Bilinmeyenler bir tarafta toplanır: 7 + 8 < 3x + 2x, yani 15 < 5x. Her iki taraf pozitif 5'e bölünür ve yön korunur: 3 < x. x kesin olarak 3'ten büyük olduğundan en küçük tam sayı değeri 4'tür. Eşitsizliği '≤' gibi okuyup sınırı da çözüme katan öğrenci 3 der. Cevap D.

Doğru cevap: E — -5

Uç değerlerin dörtlü çarpımı incelenir: (-1)·2 = -2 ; (-1)·6 = -6 ; 4·2 = 8 ; 4·6 = 24. Uç değerler alınamadığından çarpım -6 < x·y < 24 aralığındadır. Bu aralıktaki en küçük tam sayı -5'tir. Uç değerlerin de alınabileceğini sanan öğrenci -6 der; oysa x = -1 ve y = 6 değerleri aralıklara dâhil değildir. Cevap E.

Doğru cevap: E — 5

x arttıkça 12/x azalır; x = 2 için 12/x = 6 ve x = 6 için 12/x = 2 olur. x aradaki bütün gerçel değerleri alabildiğinden 12/x ifadesi [2, 6] aralığındaki her değeri alır. Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3, 4, 5, 6 olmak üzere 5 tanedir. Yalnızca 12/x bölümünün tam sayı olduğu x = 2, 3, 4, 6 değerlerini sayan öğrenci 4 der; oysa x tam sayı olmak zorunda değildir. Cevap E.

Doğru cevap: B — (-∞, -2] ∪ [2, ∞)

Eşitsizlik x^2 - 4 ≥ 0, yani (x - 2)(x + 2) ≥ 0 biçiminde yazılır. Kökler -2 ve 2'dir. Baş katsayı pozitif olduğundan ifade kökler dışında pozitif, kökler arasında negatiftir. Eşitlik de istendiğinden çözüm (-∞, -2] ∪ [2, ∞) olur. İşaret tablosunu ters okuyup kökler arasını yazan öğrenci [-2, 2] seçeneğini işaretler. Ayrıca yalnızca x ≥ 2 durumunu görüp negatif kökü unutmak da yaygın bir hatadır. Cevap B.

Doğru cevap: A — (-∞, -1) ∪ (3, ∞)

Payın kökü 3, paydanın kökü -1'dir. İşaret tablosunda ifade x < -1 ve x > 3 için pozitiftir. Eşitsizlik kesin olduğundan 3 çözüme alınmaz; -1 ise paydayı sıfır yaptığından hiçbir durumda çözüme alınamaz. Çözüm kümesi (-∞, -1) ∪ (3, ∞) olur. İşaret tablosunu ters okuyup kökler arasını yazan öğrenci (-1, 3) seçeneğini işaretler. Cevap A.

Doğru cevap: C — 16

Aralık sıfırı içerdiğinden x^2 en küçük değeri 0'dır. x, -4'e istediği kadar yaklaşabildiğinden x^2 değeri 16'ya yaklaşır ama 16'ya ulaşamaz: 0 ≤ x^2 < 16. Bu aralıktaki tam sayılar 0'dan 15'e kadar olan 16 sayıdır. Sıfırı saymayı unutan öğrenci 15 bulur. Cevap C.

Doğru cevap: D — 7

Fark için ikinci eşitsizlik ters çevrilir: -2 < b < 3 ise -3 < -b < 2. Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanır: 1 - 3 < a - b < 4 + 2, yani -2 < a - b < 6. Bu aralıktaki tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 olmak üzere 7 tanedir. Uç değerleri de sayan öğrenci -2 ile 6'yı ekleyip 9 bulur. Cevap D.

Doğru cevap: C — 14

İfade çarpanlarına ayrılır: (x - 2)(x - 5) ≤ 0. Kökler 2 ve 5'tir. Baş katsayı pozitif olduğundan ifade kökler arasında negatif, köklerde sıfırdır: 2 ≤ x ≤ 5. Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3, 4, 5 olup toplamları 14'tür. Eşitsizliği kesin sanıp kökleri dışarıda bırakan öğrenci yalnızca 3 ile 4'ü toplar ve 7 bulur. Cevap C.

Doğru cevap: E — 1/a > 1/b

a ve b pozitif ve a < b olduğundan her iki tarafı pozitif olan ab çarpımına bölmek yönü değiştirmez: a/(ab) < b/(ab), yani 1/b < 1/a. Böylece 1/a > 1/b her zaman doğrudur. Pozitif sayılarda a < b iken a^2 < b^2 olur; a - b < 0 ve b/a > 1'dir; iki pozitif sayının toplamı da pozitiftir. Ters çevirmenin sıralamayı koruduğunu sanan öğrenci 1/a > 1/b yerine b/a < 1 gibi ifadeleri seçer. Cevap E.

Doğru cevap: D — 8

İfade sadeleştirilir: (x + y)/y = x/y + 1. x/y oranı en büyük değerini pay en büyük ve payda en küçük iken alır: 7/1 = 7. Buna göre en büyük değer 7 + 1 = 8'dir. Payda için 1, pay için ise x + y = 7 + 2 = 9 alan öğrenci 9 bulur; ifadedeki iki y aynı sayıyı göstermektedir. Cevap D.

Doğru cevap: B — 1

Payın kökü 7/2 = 3,5 ; paydanın kökü 5'tir. Bölüm yalnızca bu iki kök arasında negatiftir: 3,5 < x < 5. Bu aralıktaki tek tam sayı 4 olduğundan yalnızca 1 değer vardır. Üst sınır olan 5'i de sayan öğrenci 2 der; oysa x = 5 paydayı sıfır yapar ve ifade tanımsız olur. Cevap B.