Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Basit Eşitsizlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 123 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 5. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
5 kolay9 orta1 zor
-2(x - 3) < 4 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (1, ∞)
Parantez açılır: -2x + 6 < 4, yani -2x < -2. Her iki taraf negatif olan -2'ye bölündüğünden yön değişir: x > 1. Çözüm kümesi (1, ∞) aralığıdır. Negatifle bölmede yön değiştirmeyi unutan öğrenci x < 1 bulur ve (-∞, 1) seçeneğini işaretler. Cevap E.
2/(x + 1) ≤ 1 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — (-∞, -1) ∪ [1, ∞)
Bütün terimler sol tarafa toplanır: 2/(x + 1) - 1 ≤ 0, yani (2 - x - 1)/(x + 1) ≤ 0 ve (1 - x)/(x + 1) ≤ 0. Pay ile paydanın kökleri 1 ve -1'dir; ifade x < -1 ve x ≥ 1 için sıfırdan küçük ya da sıfıra eşittir. x = 1 payı sıfır yaptığı için çözüme dâhildir; x = -1 ise paydayı sıfır yaptığından dâhil değildir. -1 değerini de çözüme katan öğrenci (-∞, -1] ∪ [1, ∞) seçeneğini işaretler; payda hiçbir zaman sıfır olamaz. Cevap D.
2 ≤ x ≤ 5 ve -3 ≤ y ≤ -1 olduğuna göre, x/y bölümünün alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: A — -5
Uç değerlerin dörtlü bölümü incelenir: 2/(-3) = -2/3 ; 2/(-1) = -2 ; 5/(-3) = -5/3 ; 5/(-1) = -5. Bu değerlerin en küçüğü -5'tir. Negatif sayılarda mutlak değeri küçük olanın daha küçük olduğunu sanan öğrenci -2/3 değerini en küçük kabul eder. Cevap A.
1 < x < 4 ve -2 < y < 1 olduğuna göre, x - y farkının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: E — 15
Fark için ikinci eşitsizlik ters çevrilir: -2 < y < 1 ise -1 < -y < 2. Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanır: 1 - 1 < x - y < 4 + 2, yani 0 < x - y < 6. Bu aralıktaki tam sayılar 1, 2, 3, 4, 5 olup toplamları 15'tir. y'nin en küçük değerini -2 yerine -1 sanan öğrenci aralığı 0 < x - y < 5 bulur ve 1 + 2 + 3 + 4 = 10 der. Cevap E.
x bir tam sayı olmak üzere, (2x - 7)/(x - 5) ifadesinin negatif olduğu kaç x değeri vardır?
Doğru cevap: B — 1
Payın kökü 7/2 = 3,5 ; paydanın kökü 5'tir. Bölüm yalnızca bu iki kök arasında negatiftir: 3,5 < x < 5. Bu aralıktaki tek tam sayı 4 olduğundan yalnızca 1 değer vardır. Üst sınır olan 5'i de sayan öğrenci 2 der; oysa x = 5 paydayı sıfır yapar ve ifade tanımsız olur. Cevap B.
5 - 3x > x + 1 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — (-∞, 1)
Bilinmeyenler sağda toplanır: 5 - 1 > x + 3x, yani 4 > 4x. Her iki taraf pozitif 4'e bölünür: 1 > x, yani x < 1. Çözüm kümesi (-∞, 1) aralığıdır. Bilinmeyeni solda toplayıp -4x > -4 adımında negatifle bölerken yön değiştirmeyi unutan öğrenci x > 1 bulur. Cevap B.
-1 < x < 4 ve 2 < y < 6 olduğuna göre, x · y çarpımının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Doğru cevap: E — -5
Uç değerlerin dörtlü çarpımı incelenir: (-1)·2 = -2 ; (-1)·6 = -6 ; 4·2 = 8 ; 4·6 = 24. Uç değerler alınamadığından çarpım -6 < x·y < 24 aralığındadır. Bu aralıktaki en küçük tam sayı -5'tir. Uç değerlerin de alınabileceğini sanan öğrenci -6 der; oysa x = -1 ve y = 6 değerleri aralıklara dâhil değildir. Cevap E.
x^2 - 3x < 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: B — 2
İfade çarpanlarına ayrılır: x(x - 3) < 0. Kökler 0 ve 3'tür. Baş katsayı pozitif olduğundan çarpım yalnızca kökler arasında negatiftir: 0 < x < 3. Bu aralıktaki tam sayılar 1 ve 2 olmak üzere 2 tanedir. Eşitsizliği '≤' sanıp 0 ile 3'ü de sayan öğrenci 4 bulur; bu değerler ifadeyi sıfır yapar. Cevap B.
4 - x/3 ≤ 2 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — [6, ∞)
4 - x/3 ≤ 2 eşitsizliğinde 4 sağa atılır: -x/3 ≤ -2. Her iki taraf negatif olan -3 ile çarpıldığından eşitsizliğin yönü değişir: x ≥ 6. Çözüm kümesi [6, ∞) aralığıdır. Negatifle çarpmada yön değiştirmeyi unutan öğrenci x ≤ 6 bulur ve (-∞, 6] seçeneğini işaretler. Cevap D.
x/2 + x/3 < 5 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı x değeri kaçtır?
Doğru cevap: C — 5
Sol taraf ortak paydada toplanır: 3x/6 + 2x/6 = 5x/6. 5x/6 < 5 eşitsizliğinin iki tarafı 6/5 ile çarpılır: x < 6. x kesin olarak 6'dan küçük olduğundan en büyük tam sayı değeri 5'tir. Sınırı çözüme katan öğrenci 6 der; oysa x = 6 için toplam tam olarak 5 eder ve eşitsizlik sağlanmaz. Cevap C.
-3 < 2x + 1 ≤ 9 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C — 9
Her taraftan 1 çıkarılır: -4 < 2x ≤ 8. Her taraf pozitif 2'ye bölünür: -2 < x ≤ 4. Bu aralıktaki tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3, 4'tür. Toplamları: -1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 9. Alt sınırdaki '<' işaretini '≤' sanıp -2'yi de toplayan öğrenci 7 bulur. Cevap C.
2x - 1 < 7 ve 3x + 2 > -4 koşullarını birlikte sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: C — 5
Birinci eşitsizlik: 2x < 8, yani x < 4. İkinci eşitsizlik: 3x > -6, yani x > -2. İki koşulun kesişimi -2 < x < 4 aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3 olmak üzere 5 tanedir. Sınır değerleri de çözüme katan öğrenci -2 ile 4'ü sayar ve 7 bulur. Cevap C.
x pozitif bir tam sayı olmak üzere, 9 - 3x > 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x değeri vardır?
Doğru cevap: B — 2
9 - 3x > 0 eşitsizliğinden 9 > 3x ve x < 3 bulunur. x pozitif tam sayı olduğundan olası değerler 1 ve 2'dir; yani 2 tane değer vardır. x = 3 değerini de sayan öğrenci 3 bulur; oysa bu değerde ifade sıfır olur ve eşitsizlik sağlanmaz. Cevap B.
3 < x < 9 ve 2 < y < 6 olduğuna göre, x/y ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Doğru cevap: B — 1
Bölümün en küçük değeri, pay en küçük ve payda en büyük iken elde edilir: 3/6 = 1/2. En büyük değeri ise pay en büyük ve payda en küçük iken elde edilir: 9/2 = 4,5. Uç değerler alınamadığından x/y oranı (1/2 ; 4,5) aralığındadır ve bu aralıktaki en küçük tam sayı 1'dir. Alt sınır 1/2'yi aşağı yuvarlayıp 0 diyen öğrenci hata yapar; 0 sayısı aralıkta değildir. Cevap B.
x ve y tam sayıları için x + y = 12 ve x > 2y koşulları sağlanmaktadır. Buna göre y'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: D — 3
x + y = 12 eşitliğinden x = 12 - y yazılır. Bu ifade koşulda yerine konur: 12 - y > 2y, yani 12 > 3y ve y < 4 bulunur. y kesin olarak 4'ten küçük bir tam sayı olduğundan en büyük değeri 3'tür. Eşitsizliği 'y ≤ 4' gibi okuyan öğrenci 4 der; oysa y = 4 için x = 8 olur ve 8 > 8 sağlanmaz. Cevap D.
