Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Basit Eşitsizlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 6. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
7 kolay8 orta0 zor
4 - x/3 ≤ 2 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — [6, ∞)
4 - x/3 ≤ 2 eşitsizliğinde 4 sağa atılır: -x/3 ≤ -2. Her iki taraf negatif olan -3 ile çarpıldığından eşitsizliğin yönü değişir: x ≥ 6. Çözüm kümesi [6, ∞) aralığıdır. Negatifle çarpmada yön değiştirmeyi unutan öğrenci x ≤ 6 bulur ve (-∞, 6] seçeneğini işaretler. Cevap D.
3(x + 2) ≥ 2x - 1 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — [-7, ∞)
Parantez açılır: 3x + 6 ≥ 2x - 1. Bilinmeyenler solda, sabitler sağda toplanır: 3x - 2x ≥ -1 - 6, yani x ≥ -7. Pozitif katsayıyla işlem yapıldığından yön değişmez ve çözüm kümesi [-7, ∞) olur. 3(x + 2) çarpımını 3x + 2 diye açan öğrenci x ≥ -3 bulur. Cevap B.
6 ≤ 2x - 4 < 10 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: A — 2
Eşitsizliğin her tarafına 4 eklenir: 10 ≤ 2x < 14. Her taraf pozitif 2'ye bölünür: 5 ≤ x < 7. Bu aralıktaki tam sayılar 5 ve 6 olmak üzere 2 tanedir. Üst sınırdaki '<' işaretini '≤' sanıp 7'yi de sayan öğrenci 3 bulur. Cevap A.
x/2 + x/3 < 5 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı x değeri kaçtır?
Doğru cevap: C — 5
Sol taraf ortak paydada toplanır: 3x/6 + 2x/6 = 5x/6. 5x/6 < 5 eşitsizliğinin iki tarafı 6/5 ile çarpılır: x < 6. x kesin olarak 6'dan küçük olduğundan en büyük tam sayı değeri 5'tir. Sınırı çözüme katan öğrenci 6 der; oysa x = 6 için toplam tam olarak 5 eder ve eşitsizlik sağlanmaz. Cevap C.
-1 < 3 - x ≤ 5 eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — [-2, 4)
Her taraftan 3 çıkarılır: -4 < -x ≤ 2. Her taraf -1 ile çarpılır ve eşitsizliklerin yönü değişir: 4 > x ≥ -2. Bu ifade -2 ≤ x < 4, yani [-2, 4) aralığıdır. Yön değiştirmeyi unutan öğrenci -4 < x ≤ 2 yazıp (-4, 2] seçeneğini işaretler. Cevap E.
x negatif bir tam sayı olmak üzere 5 - 2x ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: E — 7
İfadenin en küçük olması için -2x çarpımının en küçük olması, yani x'in en büyük olması gerekir. x negatif tam sayı olduğundan en büyük değeri -1'dir. x = -1 için 5 - 2·(-1) = 7 bulunur. Sıfırı da negatif tam sayı sanan öğrenci x = 0 alır ve 5 bulur; oysa 0 ne negatif ne pozitiftir. Cevap E.
5 - 3x > x + 1 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — (-∞, 1)
Bilinmeyenler sağda toplanır: 5 - 1 > x + 3x, yani 4 > 4x. Her iki taraf pozitif 4'e bölünür: 1 > x, yani x < 1. Çözüm kümesi (-∞, 1) aralığıdır. Bilinmeyeni solda toplayıp -4x > -4 adımında negatifle bölerken yön değiştirmeyi unutan öğrenci x > 1 bulur. Cevap B.
-2 < x < 3 ve 1 < y < 5 olduğuna göre, 2x + 3y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Doğru cevap: D — 20
Eşitsizlikler ayrı ayrı genişletilir: -2 < x < 3 ise -4 < 2x < 6; 1 < y < 5 ise 3 < 3y < 15. Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanır: -1 < 2x + 3y < 21. Üst sınır dışarıda kaldığından en büyük tam sayı değeri 20'dir. Uç değerleri de alınabilir sanıp 2·3 + 3·5 = 21 diyen öğrenci hata yapar; x ve y sınır değerlerini alamaz. Cevap D.
3 < x < 9 ve 2 < y < 6 olduğuna göre, x/y ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Doğru cevap: B — 1
Bölümün en küçük değeri, pay en küçük ve payda en büyük iken elde edilir: 3/6 = 1/2. En büyük değeri ise pay en büyük ve payda en küçük iken elde edilir: 9/2 = 4,5. Uç değerler alınamadığından x/y oranı (1/2 ; 4,5) aralığındadır ve bu aralıktaki en küçük tam sayı 1'dir. Alt sınır 1/2'yi aşağı yuvarlayıp 0 diyen öğrenci hata yapar; 0 sayısı aralıkta değildir. Cevap B.
0 < a < 1 olduğuna göre, a, a^2, √a ve 1/a sayılarının küçükten büyüğe sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — a^2 < a < √a < 1/a
0 ile 1 arasındaki bir sayının karesi kendisinden küçük, karekökü ise kendisinden büyüktür: a^2 < a < √a. Ayrıca 0 < a < 1 iken 1/a > 1 olur ve √a < 1 olduğundan √a < 1/a'dır. Örneğin a = 1/4 için a^2 = 1/16 ; a = 0,25 ; √a = 0,5 ve 1/a = 4 sıralaması bu sonucu doğrular. Kare almanın sayıyı daima büyüttüğünü sanan öğrenci a < a^2 ile başlayan sıralamayı seçer. Cevap D.
x < y < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Doğru cevap: A — x^2 > y^2
x < y < 0 olduğundan her iki sayı da negatiftir ve x'in mutlak değeri y'ninkinden büyüktür. Kare alındığında işaret pozitife döner ve mutlak değeri büyük olanın karesi büyük olur: x^2 > y^2. İki negatif sayının toplamı negatif, çarpımı ise pozitiftir; ayrıca x < y olduğundan x - y < 0'dır. Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olanın karesinin küçük kalacağını sanan öğrenci x^2 < y^2 ifadesini seçer. Cevap A.
2 < x < 6 olduğuna göre, 1/x ifadesinin alabileceği değerlerin aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C — (1/6, 1/2)
x pozitif ve artan iken 1/x azalır; bu nedenle sınırlar yer değiştirir. x = 2 için 1/x = 1/2 ve x = 6 için 1/x = 1/6 olur. Uç değerler alınamadığından 1/6 < 1/x < 1/2, yani (1/6, 1/2) aralığı bulunur. Ters çevirmenin sıralamayı değiştirmediğini sanan öğrenci aralığı (2, 6) gibi bırakır. Cevap C.
-4 ≤ x ≤ -1 olduğuna göre, x^2 ifadesinin alabileceği değerlerin aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — [1, 16]
Aralıktaki bütün değerler negatiftir; mutlak değer en küçük -1'de, en büyük -4'tedir. Kare alındığında en küçük değer (-1)^2 = 1, en büyük değer (-4)^2 = 16 olur. x sürekli değiştiğinden x^2 bu iki değer arasındaki bütün değerleri alır: [1, 16]. Kare alırken işaretin korunduğunu sanan öğrenci [-16, -1] aralığını seçer; bir gerçel sayının karesi negatif olamaz. Cevap E.
3 < a + b < 9 ve 1 < a - b < 5 olduğuna göre, a'nın alabileceği değerlerin aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (2, 7)
Aynı yönlü iki eşitsizlik taraf tarafa toplanır: (a + b) + (a - b) toplamı 3 + 1 ile 9 + 5 arasındadır, yani 4 < 2a < 14. Her taraf pozitif 2'ye bölünür: 2 < a < 7. Bölme adımını atlayıp 2a için bulunan (4, 14) aralığını doğrudan a için yazan öğrenci hata yapar. Cevap E.
(x + 1)(2 - x)(x + 4) > 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C — (-∞, -4) ∪ (-1, 2)
Kökler -4, -1 ve 2'dir. (2 - x) çarpanının x katsayısı negatif olduğundan çarpımın baş katsayısı da negatiftir; bu nedenle en sağdaki aralıkta ifade negatif başlar ve köklerden geçtikçe işaret değişir. İşaret sırası soldan sağa +, -, +, - biçimindedir; ifade x < -4 ve -1 < x < 2 için pozitiftir. Eşitsizlik kesin olduğundan kökler çözüme alınmaz ve çözüm (-∞, -4) ∪ (-1, 2) olur. (2 - x) çarpanını (x - 2) gibi alıp işaret tablosunu ters okuyan öğrenci (-4, -1) ∪ (2, ∞) seçeneğini işaretler. Cevap C.
