Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Basit Eşitsizlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
5 kolay4 orta6 zor
x pozitif bir tam sayı olmak üzere, 9 - 3x > 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x değeri vardır?
Doğru cevap: B — 2
9 - 3x > 0 eşitsizliğinden 9 > 3x ve x < 3 bulunur. x pozitif tam sayı olduğundan olası değerler 1 ve 2'dir; yani 2 tane değer vardır. x = 3 değerini de sayan öğrenci 3 bulur; oysa bu değerde ifade sıfır olur ve eşitsizlik sağlanmaz. Cevap B.
-2(x - 3) < 4 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (1, ∞)
Parantez açılır: -2x + 6 < 4, yani -2x < -2. Her iki taraf negatif olan -2'ye bölündüğünden yön değişir: x > 1. Çözüm kümesi (1, ∞) aralığıdır. Negatifle bölmede yön değiştirmeyi unutan öğrenci x < 1 bulur ve (-∞, 1) seçeneğini işaretler. Cevap E.
x/5 - 1 ≥ 2 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı x değeri kaçtır?
Doğru cevap: D — 15
Her iki tarafa 1 eklenir: x/5 ≥ 3. Her iki taraf pozitif 5 ile çarpılır: x ≥ 15. Eşitlik de sağlandığından en küçük tam sayı değeri 15'tir. 1'i karşı tarafa geçirmeyi unutup x/5 ≥ 2'den x ≥ 10 bulan öğrenci hata yapar. Cevap D.
-3 < x ≤ 5 aralığındaki en büyük tam sayı ile en küçük tam sayının farkı kaçtır?
Doğru cevap: C — 7
Aralıkta 5 değeri dâhil olduğundan en büyük tam sayı 5'tir. Alt sınırda '<' işareti bulunduğundan -3 aralığa dâhil değildir; en küçük tam sayı -2'dir. Fark: 5 - (-2) = 7. -3 değerini de aralığa dâhil eden öğrenci 5 - (-3) = 8 bulur. Cevap C.
1 - x ≥ 2x + 7 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı x değeri kaçtır?
Doğru cevap: A — -2
Bilinmeyenler sağda, sabitler solda toplanır: 1 - 7 ≥ 2x + x, yani -6 ≥ 3x. Her iki taraf pozitif 3'e bölünür: -2 ≥ x, yani x ≤ -2. Buna göre en büyük tam sayı değeri -2'dir. Sabitleri toplarken işaret değiştirmeyip 1 + 7 = 8 yazan öğrenci 8 ≥ 3x'ten x ≤ 8/3 bulur ve en büyük tam sayıyı 2 sanır. Cevap A.
x^2 + 5x + 6 > 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — (-∞, -3) ∪ (-2, ∞)
İfade çarpanlarına ayrılır: (x + 2)(x + 3) > 0. Kökler -3 ve -2'dir. Baş katsayı pozitif olduğundan ifade kökler dışında pozitiftir: x < -3 veya x > -2. Eşitsizlik kesin olduğundan kökler çözüme alınmaz. İşaret tablosunu ters okuyup kökler arasını yazan öğrenci (-3, -2) seçeneğini işaretler. Cevap B.
-2 ≤ x ≤ 4 olduğuna göre, 3 - x^2 ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: D — -13
İfadenin en küçük olması için çıkarılan x^2 teriminin en büyük olması gerekir. Aralıkta mutlak değeri en büyük sayı 4 olduğundan x^2 en fazla 16 olur. x = 4 için 3 - 16 = -13 bulunur. x'in en küçük değeri olan -2'yi kullanan öğrenci 3 - 4 = -1 bulur; oysa kare alındığında -2 değil 4 belirleyicidir. Cevap D.
5 < x < 12 ve 2 < y < 4 olduğuna göre, x - 2y ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Doğru cevap: C — 10
Önce 2y aralığı bulunur: 2 < y < 4 ise 4 < 2y < 8 ve ters çevrilirse -8 < -2y < -4. Taraf tarafa toplanır: 5 - 8 < x - 2y < 12 - 4, yani -3 < x - 2y < 8. Bu aralıktaki tam sayılar -2'den 7'ye kadar olan 10 sayıdır. Uç değerleri de sayan öğrenci -3 ile 8'i ekleyip 12 bulur. Cevap C.
x^3 < x eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — (-∞, -1) ∪ (0, 1)
Bütün terimler sola toplanır: x^3 - x < 0, yani x(x - 1)(x + 1) < 0. Kökler -1, 0 ve 1'dir. Baş katsayı pozitif olduğundan en sağdaki aralıkta ifade pozitiftir ve her tek katlı kökte işaret değişir: soldan sağa -, +, -, +. İfade x < -1 ve 0 < x < 1 için negatiftir; kökler kesin eşitsizlik nedeniyle çözüme alınmaz. İşaret tablosunu ters okuyan öğrenci (-1, 0) ∪ (1, ∞) seçeneğini işaretler. Cevap D.
x^4 - 5x^2 + 4 ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: A — 4
İfade çarpanlarına ayrılır: (x^2 - 1)(x^2 - 4) ≤ 0. Bu eşitsizlik 1 ≤ x^2 ≤ 4 anlamına gelir; yani x'in mutlak değeri 1 ile 2 arasındadır. Çözüm -2 ≤ x ≤ -1 veya 1 ≤ x ≤ 2 olup buradaki tam sayılar -2, -1, 1, 2 olmak üzere 4 tanedir. x = 0 değerini de çözüme katan öğrenci 5 der; oysa x = 0 için ifade 4 olur ve eşitsizlik sağlanmaz. Cevap A.
(x - 2)/(x^2 - 1) ≥ 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C — (-1, 1) ∪ [2, ∞)
Payda çarpanlarına ayrılır: x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1). Kökler -1, 1 ve 2'dir. İşaret tablosunda ifade -1 < x < 1 ve x > 2 için pozitiftir. x = 2 payı sıfır yaptığından çözüme dâhildir; -1 ve 1 ise paydayı sıfır yaptığından dâhil değildir. Payda köklerini de çözüme katan öğrenci [-1, 1] ∪ [2, ∞) seçeneğini işaretler. Cevap C.
a < b < 0 < c olduğuna göre, (a - b) · c çarpımının işareti aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — negatif
a < b olduğundan a - b farkı negatiftir. c > 0 olduğundan negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı elde edilir; bu çarpım negatiftir. a ve b'nin ikisi de negatif olduğu için farklarının pozitif olacağını sanan öğrenci sonucu pozitif kabul eder; belirleyici olan a ile b'nin sıralamasıdır. Cevap A.
(x^2 - 9)/(x + 1)^2 ≤ 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — [-3, -1) ∪ (-1, 3]
Payda (x + 1)^2 çarpanı, tanımlı olduğu her yerde pozitiftir; bu nedenle ifadenin işaretini yalnızca pay belirler. x^2 - 9 ≤ 0 eşitsizliğinden -3 ≤ x ≤ 3 bulunur. Ancak x = -1 değeri paydayı sıfır yaptığından çözümden çıkarılır: [-3, -1) ∪ (-1, 3]. Paydanın karesi alındığı için işareti etkilemediğini doğru görüp x = -1 kısıtını unutan öğrenci [-3, 3] seçeneğini işaretler. Cevap E.
-3 < x < 2 ve 1 < y < 4 olduğuna göre, x/y ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B — -2
Bölüm en küçük değerine x en küçük (-3'e yakın) ve y en küçük (1'e yakın) iken yaklaşır: -3. En büyük değerine ise x en büyük (2'ye yakın) ve y en küçük iken yaklaşır: 2. Uç değerler alınamadığından -3 < x/y < 2 olur; buradaki tam sayılar -2, -1, 0, 1 ve toplamları -2'dir. Uç değerlerin de alınabileceğini sanan öğrenci -3 ile 2'yi de toplayıp -3 bulur. Cevap B.
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) < 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: A — 0
Kökler 1, 2, 3 ve 4'tür; hepsi tek katlıdır ve her kökte işaret değişir. En sağdaki aralıkta ifade pozitiftir; soldan sağa işaretler +, -, +, -, + biçimindedir. Buna göre ifade yalnızca 1 < x < 2 ve 3 < x < 4 aralıklarında negatiftir; bu aralıklarda hiç tam sayı bulunmadığından cevap 0'dır. Çözüm kümesini 1 < x < 4 sanan öğrenci 2 ile 3'ü sayarak 2 der; oysa bu değerlerde ifade sıfırdır. Cevap A.
