Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Basit Eşitsizlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 7. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
3 kolay6 orta6 zor
x^2 - 3x < 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: B — 2
İfade çarpanlarına ayrılır: x(x - 3) < 0. Kökler 0 ve 3'tür. Baş katsayı pozitif olduğundan çarpım yalnızca kökler arasında negatiftir: 0 < x < 3. Bu aralıktaki tam sayılar 1 ve 2 olmak üzere 2 tanedir. Eşitsizliği '≤' sanıp 0 ile 3'ü de sayan öğrenci 4 bulur; bu değerler ifadeyi sıfır yapar. Cevap B.
2x - 1 < 7 ve 3x + 2 > -4 koşullarını birlikte sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: C — 5
Birinci eşitsizlik: 2x < 8, yani x < 4. İkinci eşitsizlik: 3x > -6, yani x > -2. İki koşulun kesişimi -2 < x < 4 aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3 olmak üzere 5 tanedir. Sınır değerleri de çözüme katan öğrenci -2 ile 4'ü sayar ve 7 bulur. Cevap C.
-3 < 2x + 1 ≤ 9 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C — 9
Her taraftan 1 çıkarılır: -4 < 2x ≤ 8. Her taraf pozitif 2'ye bölünür: -2 < x ≤ 4. Bu aralıktaki tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3, 4'tür. Toplamları: -1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 9. Alt sınırdaki '<' işaretini '≤' sanıp -2'yi de toplayan öğrenci 7 bulur. Cevap C.
x ve y tam sayıları için x + y = 12 ve x > 2y koşulları sağlanmaktadır. Buna göre y'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: D — 3
x + y = 12 eşitliğinden x = 12 - y yazılır. Bu ifade koşulda yerine konur: 12 - y > 2y, yani 12 > 3y ve y < 4 bulunur. y kesin olarak 4'ten küçük bir tam sayı olduğundan en büyük değeri 3'tür. Eşitsizliği 'y ≤ 4' gibi okuyan öğrenci 4 der; oysa y = 4 için x = 8 olur ve 8 > 8 sağlanmaz. Cevap D.
3x + 2 ≤ 5x - 6 < 3x + 10 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: B — 4
Eşitsizlik ikiye ayrılır. Soldaki: 3x + 2 ≤ 5x - 6 → 8 ≤ 2x → x ≥ 4. Sağdaki: 5x - 6 < 3x + 10 → 2x < 16 → x < 8. Ortak çözüm 4 ≤ x < 8 olup buradaki tam sayılar 4, 5, 6, 7 olmak üzere 4 tanedir. Sağ taraftaki '<' işaretini '≤' sanıp 8'i de sayan öğrenci 5 bulur. Cevap B.
2 ≤ x ≤ 5 ve -3 ≤ y ≤ -1 olduğuna göre, x/y bölümünün alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: A — -5
Uç değerlerin dörtlü bölümü incelenir: 2/(-3) = -2/3 ; 2/(-1) = -2 ; 5/(-3) = -5/3 ; 5/(-1) = -5. Bu değerlerin en küçüğü -5'tir. Negatif sayılarda mutlak değeri küçük olanın daha küçük olduğunu sanan öğrenci -2/3 değerini en küçük kabul eder. Cevap A.
x^3 - 4x ≥ 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — [-2, 0] ∪ [2, ∞)
İfade çarpanlarına ayrılır: x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2). Kökler -2, 0 ve 2'dir. Baş katsayı pozitif olduğundan en sağdaki aralıkta ifade pozitiftir ve her kökte işaret değişir: soldan sağa -, +, -, +. İfade -2 ≤ x ≤ 0 ve x ≥ 2 için sıfırdan büyük ya da sıfıra eşittir. İşaret tablosunu ters okuyup ifadenin negatif olduğu aralıkları yazan öğrenci (-∞, -2] ∪ [0, 2] seçeneğini işaretler. Cevap E.
(x - 1)^3 · (x + 2)^2 · (x - 4) < 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: A — 2
Kökler -2 (çift katlı), 1 (tek katlı) ve 4'tür (tek katlı). Çift katlı kökte işaret değişmez. En sağdaki aralıkta ifade pozitiftir; x = 4 ve x = 1 köklerinde işaret değişir, x = -2'de değişmez. Buna göre ifade yalnızca 1 < x < 4 aralığında negatiftir ve buradaki tam sayılar 2 ile 3 olmak üzere 2 tanedir. Çift katlı kök olan -2'yi de çözüme katan öğrenci -2, 2 ve 3 olmak üzere 3 tam sayı sayıp B'yi işaretler; oysa x = -2 için çarpım sıfır olur ve kesin eşitsizlik sağlanmaz. Cevap A.
2/(x + 1) ≤ 1 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — (-∞, -1) ∪ [1, ∞)
Bütün terimler sol tarafa toplanır: 2/(x + 1) - 1 ≤ 0, yani (2 - x - 1)/(x + 1) ≤ 0 ve (1 - x)/(x + 1) ≤ 0. Pay ile paydanın kökleri 1 ve -1'dir; ifade x < -1 ve x ≥ 1 için sıfırdan küçük ya da sıfıra eşittir. x = 1 payı sıfır yaptığı için çözüme dâhildir; x = -1 ise paydayı sıfır yaptığından dâhil değildir. -1 değerini de çözüme katan öğrenci (-∞, -1] ∪ [1, ∞) seçeneğini işaretler; payda hiçbir zaman sıfır olamaz. Cevap D.
-2 < x < 1 ve 3 < y < 5 olduğuna göre, (x - y)/2 ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B — -5
Fark için ikinci eşitsizlik ters çevrilir: 3 < y < 5 ise -5 < -y < -3. Taraf tarafa toplanır: -2 - 5 < x - y < 1 - 3, yani -7 < x - y < -2. Her taraf pozitif 2'ye bölünür: -3,5 < (x - y)/2 < -1. Bu aralıktaki tam sayılar -3 ve -2 olup toplamları -5'tir. Üst sınırdaki -1 değerini de çözüme katan öğrenci -6 bulur; sınır değerler aralığa dâhil değildir. Cevap B.
(x + 5)/(x - 2) < 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C — -9
Payın kökü -5, paydanın kökü 2'dir. Bölüm yalnızca bu iki kök arasında negatiftir: -5 < x < 2. Bu aralıktaki tam sayılar -4, -3, -2, -1, 0, 1'dir. Toplamları: (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -9. Payın kökü olan -5'i de çözüme katan öğrenci -14 bulur; oysa x = -5 için ifade sıfırdır ve eşitsizlik kesindir. Cevap C.
2 < a < 5 ve -4 < b < -1 olduğuna göre, a^2 - b ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Doğru cevap: A — 28
a pozitif ve 2 < a < 5 olduğundan 4 < a^2 < 25'tir. -4 < b < -1 eşitsizliği ters çevrilir: 1 < -b < 4. Taraf tarafa toplanır: 5 < a^2 - b < 29. Üst sınır dışarıda kaldığından en büyük tam sayı değeri 28'dir. Uç değerleri de alınabilir sanıp 25 + 4 = 29 diyen öğrenci hata yapar. Cevap A.
(2x - 1)/3 ≥ 3 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı x değeri kaçtır?
Doğru cevap: C — 5
Her iki taraf pozitif 3 ile çarpılır: 2x - 1 ≥ 9. Sabit sağa geçirilir: 2x ≥ 10 ve 2'ye bölünerek x ≥ 5 bulunur. Eşitlik de sağlandığından en küçük tam sayı değeri 5'tir. Sabiti karşı tarafa geçirirken işaret değiştirmeyi unutup 2x ≥ 8 yazan öğrenci x ≥ 4 bulur ve 4'ü işaretler. Cevap C.
a > b ve b > c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Doğru cevap: A — b - a > 0
a > b eşitsizliği a - b > 0 demektir; buradan b - a < 0 olur, yani b - a > 0 ifadesi yanlıştır. b > c olduğundan b - c > 0'dır. Ayrıca a > b ve b > c eşitsizlikleri birleştirilerek a > c, yani a - c > 0 elde edilir. Eşitsizlikte terimlerin yerini değiştirirken yönün de değişmesi gerektiğini gözden kaçıran öğrenci b - a > 0 ifadesini doğru sanar. Cevap A.
-5 ≤ 3x + 1 ≤ 7 eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — [-2, 2]
Her taraftan 1 çıkarılır: -6 ≤ 3x ≤ 6. Her taraf pozitif 3'e bölünür: -2 ≤ x ≤ 2. Eşitlikler korunduğundan çözüm aralığı [-2, 2] olur. Yalnızca sol tarafı 3'e bölüp sağ sınırı olduğu gibi bırakan öğrenci [-2, 6] aralığını seçer. Cevap D.
