Mutlak Değer — Test 9

Doğru cevap: B — 3

Mutlak değerli denklemlerde durum ayrımı yapılır. x ≥ 4 durumunda |x − 4| = x − 4 olur ve x − 4 = 2x − 5 denkleminden x = 1 bulunur; ancak bu değer x ≥ 4 koşuluyla çeliştiği için reddedilir. x < 4 durumunda |x − 4| = 4 − x olur ve 4 − x = 2x − 5 denkleminden 3x = 9, yani x = 3 elde edilir; bu değer hem x < 4 koşulunu hem de sağ tarafın negatif olmaması gereğini (2·3 − 5 = 1 ≥ 0) sağlar. A seçeneğindeki 1, reddedilmesi gereken kökün çözüm sanılmasından doğar; x = 1 için sol taraf 3, sağ taraf −3'tür. D seçeneğindeki 9 ise mutlak değer hiç açılmadan x − 4 = 2x − 5 yerine x + 4 = 2x − 5 kurulmasından kaynaklanır. Cevap B.

Doğru cevap: A — −20

Mutlak değerlerin sıfır yaptığı kritik noktalar −3 ve 2 olduğundan sayı doğrusu üç bölgeye ayrılır. x < −3 bölgesinde her iki ifade de negatiftir: −(x + 3) − (x − 2) = −2x − 1 = 9 denkleminden x = −5 bulunur ve bölgeye uyar. −3 ≤ x ≤ 2 bölgesinde toplam sabit 5 olduğundan 9'a eşitlenemez, bu bölgede çözüm yoktur. x > 2 bölgesinde (x + 3) + (x − 2) = 2x + 1 = 9 denkleminden x = 4 bulunur ve bölgeye uyar. Kökler −5 ile 4 olduğundan çarpımları −20'dir. C seçeneğindeki −1, çarpım yerine köklerin toplamının yazılmasından doğar. E seçeneğindeki 20 ise çarpımda işaretlerin gözden kaçırılmasından, yani |−5|·4 hesaplanmasından kaynaklanır. Cevap A.

Doğru cevap: D — 6

Mutlak değerin sayı doğrusundaki uzaklık anlamı kullanılır: |x − 1| + |x + 2| ifadesi, x noktasının 1 ile −2 noktalarına uzaklıkları toplamıdır ve x bu iki nokta arasındayken en küçük değerini, yani iki nokta arasındaki uzaklık olan 3'ü alır. Böylece a = 3'tür. |x − 1| − |x + 2| ifadesi ise uzaklıklar farkıdır ve mutlak değerin üçgen eşitsizliği gereği en çok yine 3 olabilir; bu değer x ≤ −2 iken elde edilir (örneğin x = −5 için 6 − 3 = 3). Böylece b = 3 ve a + b = 6 bulunur. C seçeneğindeki 3, iki sonuçtan yalnız birinin yazılmasından doğar. A seçeneğindeki 0 ise farkın en büyük değeri yerine en küçük değeri olan −3 alınıp 3 + (−3) hesaplanmasından kaynaklanır. Cevap D.