Mutlak Değer — Test 8

Doğru cevap: D — {2}

Mutlak değer hiçbir zaman negatif olamaz; bu nedenle |x - 2| ≤ 0 koşulu ancak |x - 2| = 0 olduğunda sağlanır. Buradan x - 2 = 0 ve x = 2 bulunur; çözüm kümesi {2}'dir. Mutlak değerin negatif olamayacağından hareketle hiç çözüm olmadığını düşünen öğrenci boş kümeyi işaretler; oysa eşitsizlikte eşitlik durumu da vardır. Cevap D.

Doğru cevap: E — (-∞, -5) ∪ (-3, ∞)

|ifade| > a biçimindeki eşitsizlikler iki hâle ayrılır: x + 4 < -1 veya x + 4 > 1. Buradan x < -5 veya x > -3 bulunur. Çözüm kümesi (-∞, -5) ∪ (-3, ∞) olur. Eşitsizliği '<' gibi okuyup iki sınır arasını alan öğrenci (-5, -3) seçeneğini işaretler. Cevap E.

Doğru cevap: B — 1

Eşitsizlik -1 < x - 3 < 1 biçiminde yazılır. Her tarafa 3 eklenirse 2 < x < 4 bulunur. Bu aralıktaki tek tam sayı 3 olduğundan cevap 1'dir. Eşitsizliği '≤' sanıp 2 ile 4'ü de sayan öğrenci 3 bulur. Cevap B.

Doğru cevap: E — -4

Aranan noktalar |x - (-2)| = 5, yani |x + 2| = 5 koşulunu sağlar. x + 2 = 5 → x = 3 ve x + 2 = -5 → x = -7 bulunur. Koordinatların toplamı: 3 + (-7) = -4. Yalnızca sola doğru sayan öğrenci tek noktayı (-7) bulur ve onu cevap sanır. Cevap E.

Doğru cevap: A — -2

|2a| = 10 eşitliğinden |a| = 5 ve buradan a = 5 ya da a = -5 bulunur. a < 0 koşulu verildiğinden a = -5 alınır. İstenen toplam: -5 + 3 = -2. a < 0 koşulunu gözden kaçırıp a = 5 alan öğrenci 8 bulur. |2a| = 10 eşitliğini |a| = 10 gibi okuyup a = 10 alan öğrenci ise 13 der. Cevap A.

Doğru cevap: E — (-∞, -1)

Eşitsizlik, x sayısının 3'e olan uzaklığının -5'e olan uzaklığından büyük olması demektir. İki noktanın orta noktası (3 + (-5))/2 = -1 olduğundan bu koşulu -1'in solundaki sayılar sağlar. Aynı sonuç kareler karşılaştırılarak da bulunur: (x - 3)^2 > (x + 5)^2 → -6x + 9 > 10x + 25 → -16x > 16 → x < -1. Eşitsizliği ters okuyup 3'e daha yakın noktaları alan öğrenci (-1, ∞) seçeneğini işaretler. Cevap E.

Doğru cevap: D — 5

x < 1 olduğundan x - 1 negatiftir: |x - 1| = 1 - x. x > -4 olduğundan x + 4 pozitiftir: |x + 4| = x + 4. Toplanır: (1 - x) + (x + 4) = 5. İfade bu aralıkta x'ten bağımsız olarak 5'e eşittir. Örneğin x = 0 için 1 + 4 = 5 bulunur. Her iki mutlak değerin içini de olduğu gibi alan öğrenci (x - 1) + (x + 4) = 2x + 3 yazar. Cevap D.

Doğru cevap: D — -35

Eşitsizlik -6 ≤ x + 1 ≤ 6 biçiminde yazılır; buradan -7 ≤ x ≤ 5 bulunur. En büyük tam sayı 5, en küçük tam sayı -7'dir. Çarpımları: 5 · (-7) = -35. Çarpım yerine toplam hesaplayan öğrenci 5 + (-7) = -2 bulur. Cevap D.

Doğru cevap: B — 5

İfade tam kareye tamamlanır: x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4. |x - 2| = 3 olduğundan (x - 2)^2 = 9'dur. Yerine konur: 9 - 4 = 5. Nitekim x = 5 için 25 - 20 = 5 ve x = -1 için 1 + 4 = 5 bulunur. x = 5 kökünü bulup ifadeyi x^2 - 4 biçiminde okuyan öğrenci 21 der. Cevap B.

Doğru cevap: C — 64

Dıştaki mutlak değer çözülür: |x| - 3 = 1 veya |x| - 3 = -1, yani |x| = 4 ya da |x| = 2. Buradan kökler x = 4, x = -4, x = 2 ve x = -2 olmak üzere dört tanedir. Çarpım: 4 · (-4) · 2 · (-2) = 64. Yalnızca |x| = 4 durumundaki kökleri çarpan öğrenci -16 bulur; her iki durumun kökleri de hesaba katılmalıdır. Cevap C.

Doğru cevap: A — 5

Kritik noktalar 1 ve 3'tür. x < 1 için ifade (1 - x) + (3 - x) = 4 - 2x olur ve 4 - 2x < 5 koşulundan x > -1/2 gelir. 1 ≤ x ≤ 3 için ifade sabit 2'dir ve eşitsizlik daima sağlanır. x > 3 için ifade 2x - 4 olur ve 2x - 4 < 5 koşulundan x < 9/2 gelir. Çözüm -1/2 < x < 9/2 aralığıdır; buradaki tam sayılar 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 5 tanedir. Aralığı -1 ≤ x ≤ 5 gibi genişleten öğrenci 7 bulur. Cevap A.

Doğru cevap: B — (-∞, -4] ∪ [2/3, ∞)

İki taraf da negatif olmadığından kareleri karşılaştırılabilir: (2x + 1)^2 ≥ (x - 3)^2. Düzenlenir: 4x^2 + 4x + 1 ≥ x^2 - 6x + 9, yani 3x^2 + 10x - 8 ≥ 0 ve (3x - 2)(x + 4) ≥ 0. Kökler -4 ve 2/3'tür; baş katsayı pozitif olduğundan ifade kökler dışında pozitiftir ve köklerde sıfır olur. Çözüm kümesi (-∞, -4] ∪ [2/3, ∞) olur. İşaret tablosunu ters okuyup kökler arasını yazan öğrenci [-4, 2/3] seçeneğini işaretler. Cevap B.

Doğru cevap: D — 16

|x| değerine göre durumlar incelenir. |x| = 0 ise |y| = 4 olur ve (0, 4) ile (0, -4) ikilileri elde edilir: 2 ikili. |x| = 1, 2 veya 3 ise x için 2, y için 2 seçenek bulunur: 3 · 2 · 2 = 12 ikili. |x| = 4 ise y = 0 olmak zorundadır: (4, 0) ve (-4, 0) olmak üzere 2 ikili. Toplam: 2 + 12 + 2 = 16. x ya da y'nin sıfır olduğu uç durumları atlayan öğrenci yalnızca 12 ikili sayar. Cevap D.

Doğru cevap: C — 2

|t|/t ifadesi t pozitifken 1, negatifken -1 değerini alır. x ve y pozitifse çarpımları da pozitiftir: 1 + 1 + 1 = 3. x ve y'den biri negatifse çarpım negatif olur: 1 + (-1) + (-1) = -1 (diğer sırada da aynıdır). x ve y'nin ikisi de negatifse çarpım pozitiftir: (-1) + (-1) + 1 = -1. Alınabilen farklı değerler 3 ve -1 olup toplamları 2'dir. Yalnızca her iki sayının da pozitif olduğu durumu düşünen öğrenci 3 der. Cevap C.

Doğru cevap: A — 10

Birinci koşul: -6 ≤ x - 4 ≤ 6, yani -2 ≤ x ≤ 10. İkinci koşul: x + 2 ≤ -3 veya x + 2 ≥ 3, yani x ≤ -5 veya x ≥ 1. Kesişim 1 ≤ x ≤ 10 aralığıdır; buradaki tam sayılar 10 tanedir. İkinci koşulu göz ardı edip yalnızca -2 ≤ x ≤ 10 aralığını sayan öğrenci 13 bulur. Cevap A.