Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Temel Kavramlar konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 125 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
1 kolay10 orta4 zor
7! / (5!·2!) işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: B — 21
7! = 7·6·5! olduğundan 7!/5! = 7·6 = 42'dir. Buradan 7!/(5!·2!) = 42/2 = 21 bulunur. Paydadaki 2! çarpanı gözden kaçırılırsa 42 gibi yanlış bir sonuç elde edilir. Cevap: 21.
1'den 50'ye kadar olan (50 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesi ne 2 ile ne de 3 ile tam bölünür?
Doğru cevap: E — 17
2 ile bölünenler 25 tane, 3 ile bölünenler 16 tanedir; hem 2 hem 3 ile, yani 6 ile bölünenler 8 tanedir. İçlerinden en az biriyle bölünenler: 25 + 16 − 8 = 33. Aranan sayı: 50 − 33 = 17. Ortak elemanlar geri eklenmezse 50 − 25 − 16 = 9 gibi yanlış bir sonuç bulunur. Cevap: 17.
a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. a + b + c = 15 olduğuna göre a·b·c çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Doğru cevap: D — 120
Toplamı sabit olan sayıların çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür. Birbirinden farklı olma koşuluyla en yakın üçlü 4, 5, 6'dır: 4·5·6 = 120. Diğer denemeler daha küçüktür: 3·5·7 = 105, 2·6·7 = 84, 3·4·8 = 96. Sayıları 3, 5, 7 seçen öğrenci 105 bulur; oysa 4, 5, 6 üçlüsü daha büyük bir çarpım verir. Cevap: 120.
Ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı 156 olduğuna göre bu sayıların toplamı kaçtır?
Doğru cevap: E — 25
Ardışık sayılar x ve x+1 olsun: x·(x+1) = 156. 12·13 = 156 olduğundan sayılar 12 ve 13'tür. Toplam = 12 + 13 = 25. Sayılar 11 ve 12 alınırsa toplam 23 bulunur; oysa 11·12 = 132'dir. Cevap: 25.
n bir pozitif tam sayıdır. n! sayısı 2^7 ile tam bölünebildiğine göre n'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: E — 8
n! içindeki 2 çarpanlarının sayısı [n/2] + [n/4] + [n/8] + ... ile bulunur. n = 7 için 3 + 1 + 0 = 4 tane 2 vardır; bu 2^7 için yeterli değildir. n = 8 için 4 + 2 + 1 = 7 tane 2 vardır; 8! sayısı 2^7 ile tam bölünür. Üsteki 7 sayısı doğrudan cevap sanılıp 7 işaretlenirse hata yapılır; 7! sayısı içinde yalnızca dört adet 2 çarpanı vardır; yani en çok 2^4 ile tam bölünür. Cevap: 8.
1·1! + 2·2! + 3·3! + 4·4! + 5·5! toplamının sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C — 719
Terimler tek tek hesaplanır: 1·1 = 1, 2·2 = 4, 3·6 = 18, 4·24 = 96, 5·120 = 600. Toplam = 1 + 4 + 18 + 96 + 600 = 719. Aynı sonuç k·k! = (k+1)! − k! özdeşliğinden de görülür: toplam 6! − 1! = 720 − 1 = 719'dur. Bu özdeşlikte sondaki −1 unutulursa 720 bulunur; ayrıca yalnızca faktöriyeller toplanırsa (1 + 2 + 6 + 24 + 120) 153 elde edilir. Cevap: 719.
p, p + 10 ve p + 20 sayılarının üçü de asal olduğuna göre p kaçtır?
Doğru cevap: A — 3
p = 3 için 3, 13 ve 23 sayılarının üçü de asaldır. p ≠ 3 asal ise p, 3'e bölündüğünde 1 veya 2 kalanını verir. Kalan 1 ise p + 20, kalan 2 ise p + 10 sayısı 3'ün katı ve 3'ten büyük olur; yani asal olamaz. Öyleyse tek çözüm p = 3'tür. p = 7 denenirse 7 ve 17 asal olduğu için doğru sanılır; oysa 27 = 3^3 asal değildir. Cevap: 3.
Ardışık iki pozitif tam sayının karelerinin toplamı 265 olduğuna göre bu sayıların büyüğü kaçtır?
Doğru cevap: E — 12
Sayılar x ve x+1 olsun: x^2 + (x+1)^2 = 2x^2 + 2x + 1 = 265 → x^2 + x − 132 = 0. Bu denklemin pozitif kökü x = 11'dir (11·12 = 132). Sayılar 11 ve 12'dir; büyük olan 12'dir (121 + 144 = 265). Denklemden çıkan 11 değeri doğrudan işaretlenirse hata yapılır; 11 küçük olan sayıdır. Cevap: 12.
Toplamları 24 olan iki asal sayının çarpımı en çok kaç olabilir?
Doğru cevap: D — 143
Toplamı 24 olan asal ikilileri: 5 + 19, 7 + 17, 11 + 13. Çarpımları sırasıyla 95, 119 ve 143'tür. Toplamı sabit olan sayılarda çarpım, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür; en büyük çarpım 11·13 = 143'tür. İkililerden 7 ve 17 seçilirse 119 bulunur; 11 ile 13'ün de asal olduğu gözden kaçırılmamalıdır. Cevap: 143.
x bir gerçek sayı ve [x] = 7 olduğuna göre [x/2] kaçtır? ([x] gösterimi, x'ten büyük olmayan en büyük tam sayıyı belirtir.)
Doğru cevap: C — 3
[x] = 7 ise 7 ≤ x < 8'dir; her iki yan 2'ye bölünürse 3,5 ≤ x/2 < 4 elde edilir. Bu aralıktaki her sayının tam değeri 3'tür. 7/2 = 3,5 değeri en yakın tam sayıya yuvarlanıp 4 alınırsa hata yapılır; tam değer daima aşağı iner. Cevap: 3.
1'den 100'e kadar olan (100 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesi tam kare değildir?
Doğru cevap: D — 90
1 ile 100 arasındaki tam kareler 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ve 100 olmak üzere 10 tanedir. Tam kare olmayanlar: 100 − 10 = 90 tanedir. 100 sayısının da tam kare olduğu gözden kaçırılıp 9 tam kare sayılırsa yanlış olarak 91 bulunur. Cevap: 90.
a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. a + b = 15 olduğuna göre a·b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Doğru cevap: E — 56
Toplamı sabit olan iki sayının çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür. 15 tek olduğundan sayılar eşit olamaz; en yakın ikili 7 ve 8'dir: 7·8 = 56. 6 ve 9 ikilisi seçilirse çarpım 54, 5 ve 10 ikilisi seçilirse 50 bulunur; bunlar 56'dan küçüktür. Cevap: 56.
Sayı doğrusu üzerinde A noktası −8 sayısına, B noktası 13 sayısına karşılık gelmektedir. [AB] doğru parçasını üç eş parçaya bölen noktalardan A'ya daha yakın olanı hangi sayıya karşılık gelir?
Doğru cevap: A — −1
A ile B arasındaki uzaklık 13 − (−8) = 21 birimdir; her bir eş parça 21/3 = 7 birimdir. A'ya yakın nokta: −8 + 7 = −1. Diğer bölme noktası ise −8 + 14 = 6'dır. B'ye yakın olan nokta işaretlenirse 6 bulunur; soru A'ya yakın olanı istemektedir. Cevap: −1.
a, b ve c pozitif tam sayılardır. a·b = 12 ve b·c = 20 olduğuna göre a·c çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: B — 15
a = 12/b ve c = 20/b olduğundan a·c = 240/b^2'dir; b hem 12'yi hem 20'yi bölmelidir. Ortak bölenler 1, 2 ve 4'tür: b = 1 için 240, b = 2 için 60, b = 4 için 15. En küçük değer b = 4 (a = 3, c = 5) için 15'tir. b = 2 alıp orada duran öğrenci 60 bulur; oysa b'nin en büyük ortak bölen olan 4 değerini alması çarpımı küçültür. Cevap: 15.
[x] + [2x] = 7 eşitliğini sağlayan tüm x gerçek sayılarının kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir? ([x] gösterimi, x'ten büyük olmayan en büyük tam sayıyı belirtir.)
Doğru cevap: B — [2,5 ; 3)
x'in tam kısmı 2 ise [x] = 2 olur; ondalık kısmı 0,5'ten küçükken [2x] = 4, 0,5'ten büyük veya eşitken [2x] = 5'tir. Buna göre toplam, 2 ≤ x < 2,5 için 2 + 4 = 6; 2,5 ≤ x < 3 için 2 + 5 = 7 olur. Tam kısım 3 olduğunda ise toplam en az 3 + 6 = 9'a çıkar; ara değer bulunmaz. Öyleyse eşitliği sağlayan aralık [2,5 ; 3) aralığıdır. [2 ; 2,5) aralığı, ondalık kısmın [2x] üzerindeki etkisi hesaba katılmadan seçilen çeldiricidir; bu aralıkta toplam 6'dır. Cevap: [2,5 ; 3).
