Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin İşlem – Modüler Aritmetik konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 2. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
0 kolay9 orta6 zor
Bugün Salı olduğuna göre bugünden 100 gün sonra haftanın hangi günüdür?
Doğru cevap: D — Perşembe
Günler 7 gün devirlidir, bu yüzden 100 sayısının 7 ile bölümünden kalan alınır. 100 = 7·14 + 2 olduğundan kalan 2'dir. Salı gününden 2 gün ileri gidilir: Perşembe bulunur. Kalanın 1 sanılıp Çarşamba (C şıkkı) denmesi hesap hatasıdır. Cevap Perşembe.
7^100 sayısının 4 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 1
7 ≡ 3 ≡ -1 (mod 4) yazılır. 7^100 ≡ (-1)^100 (mod 4) olur. Üs çift olduğundan sonuç 1'dir, yani kalan 1 bulunur. Tabanın kalanı olan 3'ün doğrudan cevap sanılması (D şıkkı) hatalıdır. Cevap 1.
Bir sayının 7 ile bölümünden kalan 3, 5 ile bölümünden kalan 2'dir. Bu koşulları sağlayan en küçük üç basamaklı doğal sayı kaçtır?
Doğru cevap: E — 122
Her iki koşulu sağlayan en küçük sayı aranır: 17 sayısı için 17 = 7·2 + 3 ve 17 = 5·3 + 2 sağlanır. Koşulu sağlayan sayılar 17 + 35k biçimindedir: 17, 52, 87, 122, ... Üç basamaklı olan ilk sayı 122'dir. Üç basamaklı olma koşulu gözden kaçırılıp 87 (A şıkkı) denmesi hatalıdır. Cevap 122.
a ⊕ b = a + b - a·b biçiminde tanımlanan işleme göre 3 ⊕ 5 kaçtır?
Doğru cevap: C — -7
3 ⊕ 5 = 3 + 5 - 3·5 yazılır. 8 - 15 işlemi yapılır. 3 ⊕ 5 = -7 bulunur. Çarpım teriminin unutulup 8 (D şıkkı) yazılması sık yapılan hatadır. Cevap -7.
a * b = 2a + b biçiminde tanımlanan işleme göre 3 * (4 * 2) kaçtır?
Doğru cevap: A — 16
İçteki işlem önce yapılır: 4 * 2 = 2·4 + 2 = 10. Sonra 3 * 10 = 2·3 + 10 yazılır. 6 + 10 = 16 bulunur. İşlemin birleşme özelliği olmadığı gözden kaçırılıp (3 * 4) * 2 = 10 * 2 = 22 (C şıkkı) hesaplanması hatalıdır. Cevap 16.
Gerçek sayılarda a ⊕ b = a + b + 2 işleminin birim elemanı e, 5 elemanının tersi t'dir. Buna göre e·t çarpımı kaçtır?
Doğru cevap: E — 18
Birim eleman: a + e + 2 = a → e = -2 bulunur. Ters eleman: 5 + t + 2 = -2 → t = -9 bulunur. e·t = (-2)·(-9) = 18 olur. İki negatifin çarpımının işareti yanlış alınıp -18 (A şıkkı) yazılması tipik hatadır. Cevap 18.
3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^10 toplamının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: C — 4
3^2 = 9 ≡ 1 (mod 8) olduğundan tek üslüler 3, çift üslüler 1 kalanını verir. Toplamda 5 tane tek, 5 tane çift üs vardır: 5·3 + 5·1 = 20. 20 ≡ 4 (mod 8) olduğundan kalan 4 bulunur. 20 sayısının mod alınmadan yazılması (E şıkkı) hatalıdır. Cevap 4.
Bir güvenlik görevlisi 5 günde bir nöbet tutmaktadır. İlk nöbetini Pazartesi günü tuttuğuna göre 12. nöbetini hangi gün tutar?
Doğru cevap: A — Pazar
İlk nöbetten 12. nöbete kadar 11 aralık vardır: 11·5 = 55 gün geçer. 55 sayısının 7 ile bölümünden kalan alınır: 55 = 7·7 + 6. Pazartesi gününden 6 gün ileri gidilir: Pazar bulunur. Aralık sayısı 12 alınıp 60 gün üzerinden 60 ≡ 4 (mod 7) ile Cuma (D şıkkı) denmesi hatalıdır. Cevap Pazar.
a ⊕ b = 2a + 3b işlemi veriliyor. Buna göre (1 ⊕ 2) ⊕ 3 - 1 ⊕ (2 ⊕ 3) farkı kaçtır?
Doğru cevap: D — -16
1 ⊕ 2 = 2 + 6 = 8, sonra 8 ⊕ 3 = 16 + 9 = 25 bulunur. 2 ⊕ 3 = 4 + 9 = 13, sonra 1 ⊕ 13 = 2 + 39 = 41 bulunur. Fark 25 - 41 = -16 olur. İşaret gözden kaçırılıp 16 (E şıkkı) yazılması hatalıdır; sonuç işlemin birleşme özelliği olmadığını gösterir. Cevap -16.
7^(7^7) sayısının 10 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 3
7'nin 10'a göre kuvvetleri 7, 9, 3, 1 biçiminde 4 devirlidir. Üs olan 7^7'nin 4 ile bölümünden kalan bulunur: 7 ≡ -1 (mod 4) olduğundan 7^7 ≡ (-1)^7 = -1 ≡ 3 (mod 4). Buna göre 7^(7^7) ≡ 7^3 = 343 ≡ 3 (mod 10) bulunur. Üssün 1 kabul edilip 7 (C şıkkı) denmesi hatalıdır. Cevap 3.
2024^2024 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 1
Önce taban indirgenir: 2 + 0 + 2 + 4 = 8 olduğundan 2024 ≡ 8 (mod 9). 8 ≡ -1 (mod 9) yazılır: 2024^2024 ≡ (-1)^2024 (mod 9). Üs çift olduğundan sonuç 1'dir. Tabanın kalanı olan 8'in doğrudan cevap sanılması (E şıkkı) hatalıdır. Cevap 1.
1! + 2! + 3! + ... + 50! toplamının 15 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: D — 3
5! = 120 = 15·8 olduğundan 5! ve sonraki tüm terimler 15'e tam bölünür. Geriye 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 kalır. 33 = 15·2 + 3 olduğundan kalan 3 bulunur. 33 sayısının mod alınmadan cevap yazılması (E şıkkı) hatalıdır. Cevap 3.
3^1000 sayısının 100 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: A — 1
3'ün 100'e göre kuvvetleri incelenir: 3^10 = 59049 ≡ 49, 3^20 ≡ 49^2 = 2401 ≡ 1 (mod 100). Devir 20'dir ve 1000 = 20·50 olduğundan üs devre tam bölünür. 3^1000 ≡ 1 (mod 100) bulunur. Devrin 4 sanılıp 3^4 = 81 (E şıkkı) denmesi hatalıdır. Cevap 1.
Gerçek sayılarda x ⊕ y = x + y - x·y biçiminde tanımlanan işlemde 5 elemanının tersi kaçtır?
Doğru cevap: E — 5/4
Birim eleman: x + e - x·e = x → e(1 - x) = 0, her x için sağlanması gerektiğinden e = 0. Ters eleman t için 5 ⊕ t = 0 olmalıdır: 5 + t - 5t = 0. 5 - 4t = 0 → t = 5/4 bulunur. Birim eleman 1 sanılırsa 5 - 4t = 1 → t = 1 (D şıkkı) bulunur ki bu hatalıdır. Cevap 5/4.
2024 yılı artık yıldır ve bu yılın 1 Ocak günü Pazartesidir. Buna göre aynı yılın 31 Aralık günü haftanın hangi günüdür?
Doğru cevap: C — Salı
Artık yıl 366 gün sürer; 1 Ocak ile 31 Aralık arasında 365 gün geçer. 365 sayısının 7 ile bölümünden kalan alınır: 365 = 7·52 + 1. Pazartesi gününden 1 gün ileri gidilir: Salı bulunur. Yıl uzunluğu olan 366 ≡ 2 (mod 7) kullanılıp iki gün ilerlenerek Çarşamba (D şıkkı) denmesi tipik hatadır. Cevap Salı.
