Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Sayı Basamakları konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 7. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
4 kolay6 orta5 zor
İki basamaklı tüm doğal sayıların toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A — 4905
İki basamaklı sayılar 10'dan 99'a kadardır; terim sayısı 99 − 10 + 1 = 90'dır. Toplam = (10 + 99)*90/2 = 109*45 = 4905. 4950 seçeneği, 1'den 99'a kadar olan sayıların toplamından (4950) tek basamaklı sayıların toplamı olan 45'in çıkarılmasının unutulmasından doğar; 5005 seçeneği ise toplama 100 sayısının da katılmasıdır. Cevap: 4905.
abc üç basamaklı bir sayıdır. Rakamları toplamı 21 ve a = c olduğuna göre abc sayısının en büyük değeri kaçtır?
Doğru cevap: D — 939
a = c olduğundan a + b + c = 2a + b = 21'dir. Sayının büyük olması için önce a en büyük seçilir: a = 9 alınırsa b = 21 − 18 = 3 olur ve sayı 939'dur. a = 8 alınırsa b = 5 ve sayı 858 olur ki bu daha küçüktür. 993 seçeneği, a = c koşulu gözden kaçırılıp yalnızca rakamları toplamı 21 olan en büyük sayının aranmasından doğar. Cevap: 939.
2^10 * 5^7 çarpımı kaç basamaklı bir doğal sayıdır?
Doğru cevap: A — 8
2^10 * 5^7 = 2^3 * (2^7 * 5^7) = 8 * 10^7 biçiminde yazılır. 8 * 10^7 = 80 000 000 sayısıdır. Bu sayı 8 basamaklıdır. 17 seçeneği, basamak sayısı üslerin toplamı (10 + 7) sanılarak işaretlenir; oysa yalnızca eşit sayıdaki 2 ile 5 çarpanları 10'un kuvvetini oluşturur. Cevap: 8.
abc üç basamaklı bir sayıdır. acb ise onlar ve birler basamağındaki rakamların yer değiştirmesiyle oluşan üç basamaklı sayıdır. abc − acb = 54 olduğuna göre b − c kaçtır?
Doğru cevap: A — 6
abc − acb = (100a + 10b + c) − (100a + 10c + b) = 9b − 9c = 9*(b − c) olur; yüzler basamağı sadeleşir. 9*(b − c) = 54 → b − c = 6 bulunur. Örneğin 471 − 417 = 54'tür ve 7 − 1 = 6'dır. 54 seçeneği, sorulan rakam farkı yerine sayılar arasındaki farkın işaretlenmesidir; 9 seçeneği ise bölen olan 9'un sonuç sanılmasıdır. Cevap: 6.
Rakamları toplamı 24 olan kaç tane üç basamaklı doğal sayı vardır?
Doğru cevap: C — 10
Rakamların her biri en çok 9 olabileceğinden toplamı 24 yapan rakam üçlüleri (9, 9, 6), (9, 8, 7) ve (8, 8, 8)'dir. (9, 9, 6) üçlüsü 3 farklı sıralanış, (9, 8, 7) üçlüsü 6 farklı sıralanış verir; (8, 8, 8) ise tek bir sayıdır. Toplam 3 + 6 + 1 = 10 tanedir. 9 seçeneği, tüm rakamları eşit olan 888 sayısının listeye alınmamasından doğar. Cevap: 10.
İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirdiğinde elde edilen yeni sayı, ilk sayının 2 katından 3 eksiktir. Buna göre ilk sayı kaçtır?
Doğru cevap: B — 12
İlk sayı 10a + b, yeni sayı 10b + a olsun: 10b + a = 2*(10a + b) − 3. Düzenlenirse 10b + a = 20a + 2b − 3, yani 8b = 19a − 3 olur. a = 1 için 8b = 16 ve b = 2 bulunur; başka rakam ikilisi denklemi sağlamaz. İlk sayı 12'dir (21 = 2*12 − 3). 21 seçeneği, sorulan ilk sayı yerine rakamları yer değiştirmiş sayının işaretlenmesidir. Cevap: 12.
abc üç basamaklı bir sayıdır. a > b > c ve a + b + c = 20 olduğuna göre bu koşulları sağlayan kaç tane abc sayısı vardır?
Doğru cevap: E — 4
Rakamlar birbirinden farklı ve azalan sırada olacağından a en büyük rakamdır. a = 9 için b + c = 11 ve 9 > b > c: (8, 3), (7, 4), (6, 5) → 983, 974, 965. a = 8 için b + c = 12 ve 8 > b > c: (7, 5) → 875. a = 7 için b + c = 13 olur ki 7 > b > c ile sağlanamaz. Toplam 4 sayı vardır: 983, 974, 965, 875. 3 seçeneği, yalnızca a = 9 durumunun taranıp a = 8 durumunun atlanmasından doğar. Cevap: 4.
1'den 500'e kadar olan doğal sayılar (1 ve 500 dâhil) yan yana yazılırsa 3 rakamı toplam kaç kez kullanılır?
Doğru cevap: C — 200
Birler basamağında 3 bulunan sayılar 3, 13, 23, ..., 493 olmak üzere 50 tanedir. Onlar basamağında 3 bulunanlar her yüzlükte 10 tane (30-39, 130-139, ...) olmak üzere 5 yüzlükte 50 tanedir. Yüzler basamağında 3 bulunanlar ise 300'den 399'a kadar 100 tanedir. Toplam 50 + 50 + 100 = 200 kez kullanılır. 100 seçeneği, yalnızca yüzler basamağındaki 3'lerin sayılmasından; 150 seçeneği ise birler ya da onlar basamağı gruplarından birinin atlanmasından doğar. Cevap: 200.
İki basamaklı bir sayı ile rakamlarının yer değiştirmesiyle oluşan sayının farkı, bu sayının rakamları toplamına eşittir. İlk sayı, yer değiştirmiş sayıdan büyük olduğuna göre ilk sayı kaçtır?
Doğru cevap: D — 54
İlk sayı 10a + b olsun: (10a + b) − (10b + a) = 9*(a − b) ve rakamları toplamı a + b'dir. 9*(a − b) = a + b → 9a − 9b = a + b → 8a = 10b → 4a = 5b bulunur. Rakam olma koşuluyla tek çözüm a = 5, b = 4'tür; sayı 54'tür (54 − 45 = 9 = 5 + 4). 45 seçeneği, sorulan ilk sayı yerine yer değiştirmiş sayının işaretlenmesidir; oysa ilk sayının büyük olduğu verilmiştir. Cevap: 54.
abc üç basamaklı bir sayıdır. cba ise rakamların ters sırayla yazılmasıyla oluşan üç basamaklı sayıdır. abc + cba = 888 ve abc − cba = 198 olduğuna göre abc sayısı kaçtır?
Doğru cevap: A — 543
abc + cba = 101*(a + c) + 20b ve abc − cba = 99*(a − c) biçiminde çözümlenir. 99*(a − c) = 198 → a − c = 2. Toplam denkleminde 101*(a + c) + 20b = 888 olup a + c = 8 alınırsa 808 + 20b = 888, yani b = 4 bulunur. a + c = 8 ve a − c = 2 sisteminden a = 5, c = 3 çıkar; sayı 543'tür (543 + 345 = 888, 543 − 345 = 198). 583 seçeneği, çözümlemede orta basamağın katsayısı 20 yerine 10 alınmasından doğar; bu hatalı kurgu b = 8 verir. Cevap: 543.
Rakamları birbirinden farklı ve rakamları toplamı 6 olan kaç tane üç basamaklı doğal sayı vardır?
Doğru cevap: B — 14
Toplamı 6 olan, birbirinden farklı rakam üçlüleri {0, 1, 5}, {0, 2, 4} ve {1, 2, 3}'tür. {1, 2, 3} üçlüsü 3! = 6 farklı sayı verir. 0 içeren üçlülerde 0 yüzler basamağına gelemez: her biri 3! − 2! = 4 sayı verir, ikisi birlikte 8 sayı. Toplam 6 + 8 = 14 tanedir. 18 seçeneği, 0 içeren üçlülerde de 6'şar sıralanış sayılmasından, yani 0 ile başlayan dizilişlerin üç basamaklı sayı olmadığının gözden kaçırılmasından doğar. Cevap: 14.
ab iki basamaklı bir sayıdır (a onlar, b birler basamağındaki rakamdır). a − b = 4 ve a*b = 12 olduğuna göre ab sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B — 62
Farkı 4, çarpımı 12 olan rakamlar aranır: 6 − 2 = 4 ve 6*2 = 12'dir. a = 6 ve b = 2 olduğundan sayı ab = 10*6 + 2 = 62'dir. 73, 84 ve 95 seçenekleri de a − b = 4 koşulunu sağlar; çarpım koşulu denetlenmezse bunlardan biri işaretlenir (7*3 = 21, 8*4 = 32, 9*5 = 45). 26 seçeneği ise a ile b'nin yerlerinin karıştırılmasından doğar. Cevap: 62.
5063 doğal sayısında 5 rakamının basamak değeri ile 6 rakamının basamak değerinin farkı kaçtır?
Doğru cevap: C — 4940
5 rakamı binler basamağındadır: basamak değeri 5*1000 = 5000'dir. 6 rakamı onlar basamağındadır: basamak değeri 6*10 = 60'tır. Fark 5000 − 60 = 4940 olur. 1 seçeneği, basamak değerleri yerine sayı değerlerinin farkının (6 − 5) alınmasından; 4994 seçeneği ise 6'nın basamak değeri yerine sayı değerinin çıkarılmasından (5000 − 6) doğar. Cevap: 4940.
6304 doğal sayısında 6 rakamının basamak değeri, 3 rakamının basamak değerinin kaç katıdır?
Doğru cevap: B — 20
6 rakamı binler basamağındadır: basamak değeri 6*1000 = 6000'dir. 3 rakamı yüzler basamağındadır: basamak değeri 3*100 = 300'dür. 6000 : 300 = 20 bulunur. 2 seçeneği, basamak değerleri yerine sayı değerlerinin bölünmesinden (6 : 3) doğar. Cevap: 20.
Rakamları birbirinden farklı en büyük dört basamaklı tek doğal sayı kaçtır?
Doğru cevap: D — 9875
Sayının büyük olması için soldaki basamaklara en büyük rakamlar yazılır: 9, 8, 7 ile başlanır. Birler basamağı hem tek hem de kullanılmamış olmalıdır; 9 ve 7 kullanıldığından geriye kalan en büyük tek rakam 5'tir. Böylece 9875 elde edilir. 9879 seçeneği, rakamların farklı olma şartı gözden kaçırıldığı için (9 iki kez kullanılmış) işaretlenir. Cevap: 9875.
