Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Fonksiyonlar konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 6. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
6 kolay3 orta6 zor
A = {-2, -1, 0, 1, 2} kümesinden tanımlı f(x) = x^2 - 1 fonksiyonunun görüntü kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B — 3
Görüntüler sırasıyla f(-2) = 3, f(-1) = 0, f(0) = -1, f(1) = 0 ve f(2) = 3'tür. Kümede tekrar eden elemanlar bir kez yazıldığından görüntü kümesi {-1, 0, 3} olur. Tekrarları da sayan öğrenci tanım kümesinin eleman sayısı olan 5 (D şıkkı) cevabını verir. Cevap 3.
f(x) = (3x + 2)/(x - 1) fonksiyonu veriliyor. Buna göre f⁻¹(4) kaçtır?
Doğru cevap: E — 6
f⁻¹(4) değeri, f(x) = 4 denklemini sağlayan x sayısıdır. (3x + 2)/(x - 1) = 4 ise 3x + 2 = 4·(x - 1) = 4x - 4 ve x = 6 bulunur. Sağ tarafta dağılma özelliğini yanlış uygulayıp 4x - 1 yazan öğrenci x = 3 (C şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 6.
f: R → R olmak üzere f(x) = mx + 3 fonksiyonunun bire bir ve örten olmadığı bilindiğine göre m kaçtır?
Doğru cevap: D — 0
m ≠ 0 iken f(x) = mx + 3 birinci dereceden bir fonksiyondur ve gerçel sayılarda hem bire bir hem örtendir. Dolayısıyla bu özelliğin bozulması için m = 0 olmalıdır; bu durumda f(x) = 3 sabit fonksiyonu elde edilir. Sabit fonksiyon tüm x değerlerini 3'e götürdüğü için bire bir değildir. Sabit terime bakıp m = -3 (A şıkkı) diyen öğrenci katsayı ile sabit terimi karıştırmıştır. Cevap 0.
s(A) = 4 ve s(B) = 3 olduğuna göre A'dan B'ye tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B — 36
Tüm fonksiyonların sayısı 3^4 = 81'dir. İçerme-dışarma ile örten sayısı 3^4 - C(3,1)·2^4 + C(3,2)·1^4 = 81 - 48 + 3 = 36 bulunur. Örtenlik koşulunu göz ardı edip tüm fonksiyonları sayan öğrenci 81 (E şıkkı) der. Cevap 36.
f(x) = ax + 6 fonksiyonunun ters fonksiyonu kendisine eşit olduğuna göre a kaçtır?
Doğru cevap: A — -1
f⁻¹ = f ise f(f(x)) = x olmalıdır; çünkü f(f⁻¹(x)) = x eşitliği her zaman geçerlidir. f(f(x)) = a·(ax + 6) + 6 = a^2·x + 6a + 6 ifadesi x'e eşitlenir: a^2 = 1 ve 6a + 6 = 0. İki koşulu birlikte sağlayan tek değer a = -1'dir. Yalnızca a^2 = 1 koşuluna bakan öğrenci 1 (C şıkkı) değerini de kabul eder; oysa a = 1 için sabit terim 12 olur ve eşitlik bozulur. Cevap -1.
(fog)(x) = 2x + 5 ve g(x) = x - 3 olduğuna göre f⁻¹(9) kaçtır?
Doğru cevap: B — -1
f(g(x)) = f(x - 3) = 2x + 5'tir. x - 3 = u dersek x = u + 3 olur. f(u) = 2·(u + 3) + 5 = 2u + 11, yani f(x) = 2x + 11 bulunur. f⁻¹(9) için 2x + 11 = 9 denkleminden x = -1 elde edilir. f yerine bileşkeyi kullanıp 2x + 5 = 9 çözen öğrenci 2 (D şıkkı) der. Cevap -1.
f fonksiyonu, x < 4 için f(x) = 2x - 1 ve x ≥ 4 için f(x) = x^2 - 5 biçiminde tanımlanmıştır. Buna göre (fof)(3) kaçtır?
Doğru cevap: E — 20
3 < 4 olduğundan f(3) = 2·3 - 1 = 5 bulunur. Şimdi f(5) hesaplanır; 5 ≥ 4 olduğundan ikinci kural geçerlidir: f(5) = 5^2 - 5 = 20. İkinci adımda da birinci kuralı kullanan öğrenci 2·5 - 1 = 9 (B şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 20.
Her x gerçel sayısı için 2·f(x) + f(-x) = 3x + 6 eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre f(2) kaçtır?
Doğru cevap: A — 8
x = 2 için 2·f(2) + f(-2) = 12 elde edilir. x = -2 için 2·f(-2) + f(2) = 0 elde edilir. Birinci denklem 2 ile çarpılıp ikinciden çıkarılırsa 3·f(2) = 24 ve f(2) = 8 bulunur. İkinci denklemi kurmayıp sağ tarafa doğrudan x = 2 koyan öğrenci 3·2 + 6 = 12 (C şıkkı) der. Cevap 8.
s(A) = 3 ve s(B) = 4 olduğuna göre A'dan B'ye tanımlanabilecek bire bir olmayan fonksiyon sayısı kaçtır?
Doğru cevap: E — 40
A'dan B'ye tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısı 4^3 = 64'tür. Bire bir fonksiyonlarda görüntüler farklı seçilir: 4·3·2 = 24 tanedir. Bire bir olmayanlar 64 - 24 = 40 tanedir. Sorunun olumsuz kökünü gözden kaçırıp bire bir fonksiyon sayısı olan 24 (C şıkkı) cevabını vermek yaygın hatadır. Cevap 40.
f(x) = (x + 3)/2 fonksiyonu veriliyor. Buna göre f(7) kaçtır?
Doğru cevap: C — 5
x yerine 7 yazılır: f(7) = (7 + 3)/2. Pay 10 olur ve 10/2 = 5 bulunur. Paydaya bölmeyi unutan öğrenci 10 (E şıkkı) sonucunu yazar. Cevap 5.
f: R → R olmak üzere f(x) = 9 sabit fonksiyonu veriliyor. Buna göre f(-4) + f(0) toplamı kaçtır?
Doğru cevap: D — 18
Sabit fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı aynı değere götürür. Bu nedenle f(-4) = 9 ve f(0) = 9'dur. Toplam 9 + 9 = 18 bulunur. Sabit fonksiyonun değerini bir kez yazıp 9 (B şıkkı) demek toplamı hesaplamamak demektir. Cevap 18.
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bire bir değildir?
Doğru cevap: C — f(x) = x^2
Bire bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklı olmalıdır. f(x) = x^2 için f(-3) = f(3) = 9 olduğundan farklı iki eleman aynı görüntüye sahiptir. Tek dereceli olduğu için D şıkkındaki f(x) = x^3 fonksiyonu bire birdir; kuvvet gördüğü anda bire bir olmadığını düşünen öğrenci bu şıkkı işaretler. Cevap f(x) = x^2.
f(x) = 2x + 9 fonksiyonu veriliyor. Buna göre f⁻¹(3) kaçtır?
Doğru cevap: B — -3
f⁻¹(3) değeri, f(x) = 3 denklemini sağlayan x sayısıdır. 2x + 9 = 3 ise 2x = -6 ve x = -3 bulunur. Son adımda 2'ye bölmeyi unutan öğrenci -6 (A şıkkı) cevabını verir. Cevap -3.
f(x) = x^2 ve g(x) = x + 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre (gof)(3) kaçtır?
Doğru cevap: A — 10
Bileşkede sağdaki fonksiyon önce uygulanır: f(3) = 3^2 = 9. Sonra g(9) = 9 + 1 = 10 bulunur. Sırayı ters çevirip (fog)(3) = f(4) = 16 (D şıkkı) hesaplayan öğrenci yanlış sonuca ulaşır. Cevap 10.
f(x) = (x + 2)/(3x - 12) fonksiyonu x'in hangi değeri için tanımsızdır?
Doğru cevap: E — 4
Rasyonel bir ifade, paydası sıfır olduğunda tanımsızdır. 3x - 12 = 0 denkleminden 3x = 12 ve x = 4 bulunur. Payı sıfır yapan değeri arayan öğrenci x + 2 = 0'dan -2 (A şıkkı) der; oysa o noktada fonksiyon tanımlıdır ve değeri 0'dır. Cevap 4.
