Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Fonksiyonlar konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 7. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
4 kolay11 orta0 zor
A = {0, 1, 2} kümesinden tanımlı f(x) = x^2 + 2 fonksiyonunun görüntü kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
Doğru cevap: D — 11
Görüntüler f(0) = 2, f(1) = 3 ve f(2) = 6'dır. Görüntü kümesi {2, 3, 6} olduğundan elemanlar toplamı 2 + 3 + 6 = 11'dir. Tanım kümesinin elemanlarını toplayan öğrenci 0 + 1 + 2 = 3 (A şıkkı) der. Cevap 11.
f(x) = 5x + 20 fonksiyonu veriliyor. f(a) = 0 olduğuna göre a kaçtır?
Doğru cevap: B — -4
f(a) = 5a + 20 = 0 denklemi kurulur. 5a = -20 ve a = -4 bulunur. Son adımda 5'e bölmeyi unutan öğrenci -20 (A şıkkı) cevabını verir. Cevap -4.
f: A → B bir fonksiyon olmak üzere aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
Doğru cevap: E — Görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir
Görüntü kümesi, değer kümesinin fiilen kullanılan elemanlarından oluşur; bu nedenle her zaman değer kümesinin alt kümesidir. İki kümenin eşit olması yalnızca fonksiyon örten iken gerçekleşir, bu ise her fonksiyon için geçerli değildir. Örtenliği fonksiyon olmanın bir gereği sanan öğrenci A şıkkını seçer. Ayrıca bir elemanın birden çok görüntüsü olması fonksiyon tanımına aykırıdır. Cevap Görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir.
s(A) = 2 ve s(B) = 6 olduğuna göre A'dan B'ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı kaçtır?
Doğru cevap: C — 30
Bire bir fonksiyonda A'nın farklı elemanları B'nin farklı elemanlarına gider. Birinci eleman için 6, ikinci eleman için kalan 5 seçenek vardır: 6·5 = 30. Bire birlik koşulunu göz ardı edip tüm fonksiyonları sayan öğrenci 6^2 = 36 (D şıkkı) der. Cevap 30.
s(A) = 3 olmak üzere A'dan B'ye 64 farklı fonksiyon tanımlanabildiğine göre s(B) kaçtır?
Doğru cevap: A — 4
A'dan B'ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı s(B)^s(A) biçimindedir. s(B)^3 = 64 eşitliğinden s(B) = 4 bulunur. Küp kök yerine karekök alan öğrenci 8 (C şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 4.
Her x gerçel sayısı için f(2x + 3) = 4x + 1 olduğuna göre f(1) kaçtır?
Doğru cevap: C — -3
2x + 3 = u dersek x = (u - 3)/2 olur. f(u) = 4·(u - 3)/2 + 1 = 2u - 6 + 1 = 2u - 5, yani f(x) = 2x - 5'tir. f(1) = 2·1 - 5 = -3 bulunur. Değişken değiştirmeden x yerine doğrudan 1 yazan öğrenci 4·1 + 1 = 5 (E şıkkı) der. Cevap -3.
f(x) = 2x - 1 ve g(x) = x + 3 fonksiyonları veriliyor. Buna göre her x için (fog)(x) - (gof)(x) farkı kaçtır?
Doğru cevap: D — 3
(fog)(x) = f(x + 3) = 2·(x + 3) - 1 = 2x + 5 bulunur. (gof)(x) = g(2x - 1) = (2x - 1) + 3 = 2x + 2 bulunur. Fark (2x + 5) - (2x + 2) = 3'tür. Bileşke işleminin değişme özelliği olduğunu sanan öğrenci farkı 0 (A şıkkı) kabul eder. Cevap 3.
f ve g bire bir ve örten fonksiyonlar olmak üzere (gof)⁻¹ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Doğru cevap: A — f⁻¹og⁻¹
Bileşkenin tersi alınırken fonksiyonların sırası değişir. (gof)⁻¹ = f⁻¹og⁻¹ yazılır; çünkü önce uygulanan fonksiyonun tersi en sona geçer. Sırayı olduğu gibi bırakan öğrenci B şıkkındaki g⁻¹of⁻¹ ifadesini seçer. Cevap f⁻¹og⁻¹.
f fonksiyonu, x tek sayı ise f(x) = x + 4, x çift sayı ise f(x) = x/2 biçiminde tanımlanmıştır. Buna göre (fof)(7) kaçtır?
Doğru cevap: E — 15
7 tek sayı olduğundan f(7) = 7 + 4 = 11 bulunur. 11 de tek sayı olduğundan f(11) = 11 + 4 = 15'tir. İlk adımda durup f(7) değeri olan 11 (D şıkkı) cevabını vermek eksik işlem yapmaktır. Cevap 15.
f(x) = 3x + m fonksiyonunda (fof)(2) = 30 olduğuna göre m kaçtır?
Doğru cevap: C — 3
Önce f(2) = 6 + m bulunur. Sonra f(6 + m) = 3·(6 + m) + m = 18 + 4m yazılır ve bu ifade 30'a eşitlenir. 4m = 12 olduğundan m = 3 bulunur. İkinci adımda m'yi bir kez daha eklemeyi unutup 18 + 3m = 30 kuran öğrenci 4 (D şıkkı) der. Cevap 3.
f(x) = (2x - 1)/(x + 3) fonksiyonunun ters fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — (3x + 1)/(2 - x)
y = (2x - 1)/(x + 3) yazılıp içler dışlar çarpımı yapılır: y·x + 3y = 2x - 1. x'li terimler bir yana toplanır: x·(y - 2) = -3y - 1, buradan x = (3y + 1)/(2 - y) bulunur. Değişkenler değiştirilerek f⁻¹(x) = (3x + 1)/(2 - x) elde edilir. Ters almayı pay ile paydayı yer değiştirmek sanan öğrenci C şıkkındaki ifadeyi seçer. Cevap (3x + 1)/(2 - x).
s(A) = 4 olduğuna göre A'dan A'ya tanımlanabilecek, birim fonksiyondan farklı kaç bire bir ve örten fonksiyon vardır?
Doğru cevap: C — 23
A'dan A'ya tanımlanabilecek bire bir ve örten fonksiyon sayısı 4! = 24'tür. Bunlardan biri her elemanı kendisine götüren birim fonksiyondur. 24 - 1 = 23 bulunur. Birim fonksiyonu ayırmayı unutan öğrenci 24 (D şıkkı) der. Cevap 23.
Her x pozitif tam sayısı için f(2x) = 2·f(x) + 1 ve f(1) = 3 olduğuna göre f(4) kaçtır?
Doğru cevap: D — 15
x = 1 için f(2) = 2·f(1) + 1 = 2·3 + 1 = 7 bulunur. x = 2 için f(4) = 2·f(2) + 1 = 2·7 + 1 = 15 bulunur. Bir adımda durup f(2) değeri olan 7 (B şıkkı) yazmak eksik cevaptır. Cevap 15.
f(x) = (a - 2)x^2 + (b + 1)x + 5 fonksiyonu bir sabit fonksiyon olduğuna göre a·b çarpımı kaçtır?
Doğru cevap: A — -2
Sabit fonksiyonda x içeren tüm terimlerin katsayısı sıfır olmalıdır. a - 2 = 0 ise a = 2 ve b + 1 = 0 ise b = -1'dir. Çarpım 2·(-1) = -2 bulunur. Yalnızca a değerini yazan öğrenci 2 (E şıkkı) der. Cevap -2.
A kümesinden B kümesine tanımlı bir f bağıntısının fonksiyon olması için aşağıdakilerden hangisi gereklidir?
Doğru cevap: C — A kümesinin her elemanı B kümesinde tam olarak bir elemanla eşlenmelidir
Fonksiyon tanımına göre tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalı ve hiçbir eleman iki farklı görüntüye sahip olmamalıdır. Bu iki koşul birlikte C şıkkındaki ifadeyi verir. A şıkkındaki koşul örten olmayı, D şıkkındaki koşul ise bire bir olmayı tanımlar; bunlar fonksiyon olmanın değil, özel fonksiyon türlerinin koşullarıdır. Cevap C şıkkıdır: A kümesinin her elemanı B kümesinde tam olarak bir elemanla eşlenmelidir.
