Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Üçgenler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 121 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 2. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
0 kolay10 orta5 zor
ABC üçgeninde D noktası [BC] kenarı üzerinde olup |BD| = 3·|DC|'dir. Alan(ABC) = 64 cm² olduğuna göre Alan(ABD) kaç cm²'dir?
Doğru cevap: D — 48 cm²
Yükseklikleri ortak olan üçgenlerin alanları tabanlarıyla orantılıdır. ABD ve ADC üçgenlerinin A'dan [BC]'ye ortak yüksekliği vardır. Alan(ABD)/Alan(ADC) = |BD|/|DC| = 3/1 olur, yani Alan(ABD) toplamın 3/4'üdür. Alan(ABD) = 64·3/4 = 48 cm² bulunur. Cevap 48 cm².
ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 12 cm ve |BC| = 15 cm'dir. A açısının iç açıortayı [BC] kenarını D noktasında kestiğine göre |BD| kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 6 cm
İç açıortay teoremine göre |BD|/|DC| = |AB|/|AC| eşitliği geçerlidir. |BD|/|DC| = 8/12 = 2/3 olur; |BD| = 2k, |DC| = 3k denir. 2k + 3k = 15 → 5k = 15 → k = 3 bulunur. |BD| = 2·3 = 6 cm elde edilir (|DC| = 9 cm). Cevap 6 cm.
ABC üçgeninde D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerindedir ve [DE] // [BC]'dir. |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm ve |AE| = 6 cm olduğuna göre |EC| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 9 cm
Thales (temel orantı) teoremine göre [DE] // [BC] ise |AD|/|DB| = |AE|/|EC| olur. 4/6 = 6/|EC| yazılır. 4·|EC| = 36 → |EC| = 9 cm bulunur. |EC| = |AE| sanmak 6 cm (A şıkkı) hatasına yol açar. Cevap 9 cm.
Benzerlik oranı 3/5 olan iki benzer üçgenden küçüğünün alanı 27 cm²'dir. Buna göre büyük üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: E — 75 cm²
Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Alan oranı = (3/5)² = 9/25 olur. 27/A = 9/25 → 9A = 675 yazılır. A = 75 cm² bulunur. Alan oranını 3/5 almak 45 cm² hatasına yol açar. Cevap 75 cm².
ABC üçgeninde m(A) = 70°'dir. B ve C açılarının iç açıortayları O noktasında kesiştiğine göre m(BOC) kaç derecedir?
Doğru cevap: B — 125°
İki iç açıortayın oluşturduğu açı için m(BOC) = 90° + m(A)/2 bağıntısı kullanılır. m(BOC) = 90 + 70/2 = 90 + 35 yazılır. m(BOC) = 125° bulunur. Bağıntı, m(B) + m(C) = 110° ve yarılarının toplamı 55° olmasından gelir. Cevap 125°.
ABC üçgeninde m(A) = 50°'dir. B ve C açılarının dış açıortayları P noktasında kesiştiğine göre m(BPC) kaç derecedir?
Doğru cevap: A — 65°
İki dış açıortayın oluşturduğu açı için m(BPC) = 90° - m(A)/2 bağıntısı kullanılır. m(BPC) = 90 - 50/2 = 90 - 25 yazılır. m(BPC) = 65° bulunur. İç açıortay bağıntısı (90 + A/2) ile karıştırmak 115° hatasına yol açar. Cevap 65°.
Dik kenarlarının uzunlukları 5 cm ve 12 cm olan bir dik üçgende, hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 6,5 cm
Önce Pisagor teoremiyle hipotenüs bulunur: √(5² + 12²) = √169 = 13 cm. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. V = 13/2 = 6,5 cm bulunur. Hipotenüs yerine uzun dik kenarın yarısını almak 6 cm (B şıkkı) hatasına yol açar. Cevap 6,5 cm.
Eşit kenarlarının uzunlukları 13 cm, tabanının uzunluğu 10 cm olan ikizkenar üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: B — 60 cm²
İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana inen yükseklik, tabanı ortalar. Oluşan dik üçgende Pisagor teoremi uygulanır: h = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = 12 cm. Alan = (taban·yükseklik)/2 = (10·12)/2 yazılır. Alan = 60 cm² bulunur. Cevap 60 cm².
Kenar uzunlukları 5 cm, 9 cm ve x cm olan bir üçgen çizilebilmektedir. x bir tam sayı olduğuna göre x kaç farklı değer alabilir?
Doğru cevap: A — 9
Üçgen eşitsizliğine göre 9 - 5 < x < 9 + 5 olmalıdır. 4 < x < 14 aralığı elde edilir. x tam sayı olduğundan x ∈ {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} olur. Bu kümede 13 - 5 + 1 = 9 farklı değer vardır. Cevap 9.
Bir üçgenin bir dış açısının ölçüsü 130°'dir. Bu dış açıya komşu olmayan iki iç açıdan birinin ölçüsü 45° olduğuna göre diğerinin ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: D — 85°
Dış açı teoremine göre dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. 130 = 45 + x yazılır. x = 130 - 45 = 85° bulunur. Üçgenin üçüncü iç açısı 180 - 130 = 50° olup toplam 45 + 85 + 50 = 180°'dir. Cevap 85°.
ABC üçgeninde m(B) = 90°, m(A) = 30° ve |BC| = 6 cm'dir. D noktası [AC] üzerinde ve [BD] ⊥ [AC] olduğuna göre |BD| kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 3√3 cm
30-60-90 üçgeninde 30°'lik açının karşısındaki [BC] hipotenüsün yarısıdır: |AC| = 2·6 = 12 cm. 60°'lik açının karşısındaki kenar |AB| = 6√3 cm olur. Alan iki yoldan yazılır: (|AB|·|BC|)/2 = (|AC|·|BD|)/2. 6√3·6 = 12·|BD| → |BD| = 3√3 cm bulunur. Cevap 3√3 cm.
ABC üçgeninde m(A) = 54°'dir. B açısının iç açıortayı ile C açısının dış açıortayı K noktasında kesiştiğine göre m(BKC) kaç derecedir?
Doğru cevap: A — 27°
Bir iç açıortay ile diğer bir köşenin dış açıortayı arasındaki açı m(BKC) = m(A)/2 bağıntısıyla bulunur. m(BKC) = 54/2 yazılır. m(BKC) = 27° bulunur. İki iç açıortay bağıntısıyla (90 + A/2 = 117°) karıştırılmamalıdır. Cevap 27°.
ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| = 10 cm ve |BC| = 12 cm'dir. Buna göre [AB] kenarına ait yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: B — 9,6 cm
Önce [BC]'ye ait yükseklik bulunur; ikizkenarda bu yükseklik tabanı ortalar. Pisagor teoremi: h = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = 8 cm, Alan = (12·8)/2 = 48 cm². Aynı alan [AB] tabanıyla da yazılır: (10·k)/2 = 48. 5k = 48 → k = 9,6 cm bulunur. Cevap 9,6 cm.
ABC dik üçgeninde m(A) = 90°'dir. A'dan hipotenüse indirilen yüksekliğin ayağı H olmak üzere |BH| = 9 cm ve |HC| = 16 cm'dir. Buna göre ABC üçgeninin çevresi kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 60 cm
Öklid bağıntılarında |BC| = 9 + 16 = 25 cm'dir. |AB|² = |BH|·|BC| = 9·25 = 225 → |AB| = 15 cm bulunur. |AC|² = |HC|·|BC| = 16·25 = 400 → |AC| = 20 cm bulunur. Çevre = 15 + 20 + 25 = 60 cm elde edilir. Cevap 60 cm.
ABC üçgeninde D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerindedir ve [DE] // [BC]'dir. ADE üçgeninin alanının DBCE dörtgeninin alanına oranı 4/21'dir. |AD| = 6 cm olduğuna göre |DB| kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 9 cm
[DE] // [BC] olduğundan ADE ve ABC üçgenleri benzerdir (AA benzerliği). Alan(ADE)/Alan(ABC) = 4/(4 + 21) = 4/25 olur. Alan oranı benzerlik oranının karesi olduğundan |AD|/|AB| = 2/5'tir. 6/|AB| = 2/5 → |AB| = 15 cm, |DB| = 15 - 6 = 9 cm bulunur. Cevap 9 cm.
