Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Üçgenler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 121 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 3. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
6 kolay8 orta1 zor
ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| ve m(A) = 20°'dir. D noktası [AC] üzerinde olup |BD| = |BC|'dir. Buna göre m(DBC) kaç derecedir?
Doğru cevap: E — 20°
İkizkenar üçgende taban açıları eşittir: m(B) = m(C) = (180 - 20)/2 = 80°. D noktası [AC] üzerinde olduğundan m(BCD) = m(BCA) = 80°'dir. |BD| = |BC| olduğundan BDC üçgeni ikizkenardır: m(BDC) = m(BCD) = 80°. BDC üçgeninde m(DBC) = 180 - 80 - 80 = 20° bulunur. Cevap 20°.
Bir dik üçgende dar açılardan birinin ölçüsü 30° ve hipotenüsün uzunluğu 16 cm'dir. Buna göre 30°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 8
30-60-90 üçgeninde 30°'lik açının karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısına eşittir. Uzunluk 16 : 2 = 8 cm bulunur. 8√3 şıkkı, 60°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğudur. Cevap C.
Çevresi 40 cm olan bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı 3 cm'dir. Buna göre bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 60
Bir üçgenin alanı, iç teğet çember yarıçapı ile çevrenin yarısının çarpımına eşittir: Alan = r · u. u = 40 : 2 = 20 cm olduğundan Alan = 3 · 20 = 60 cm² bulunur. D şıkkı (120), çevrenin yarısı yerine çevrenin tamamının kullanılmasından (3 · 40) doğar. Cevap A.
Bir üçgenin bir iç açısının ölçüsü, diğer iki iç açısının ölçüleri toplamına eşittir. Buna göre bu üçgen aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — Dik üçgen
Büyük açının ölçüsüne x, diğer ikisinin toplamına y diyelim; x = y verilmiştir. İç açılar toplamı x + y = 180° olduğundan 2x = 180 ve x = 90° bulunur. Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgen dik üçgendir. Geniş açılı üçgen şıkkı, en büyük açının diğerlerinin toplamından büyük olduğu durumda geçerlidir; burada eşitlik söz konusudur. Cevap D. İkizkenar üçgen şıkkı da doğru değildir; verilen koşul açıların ölçüsünü belirler, kenarların eşitliği hakkında bilgi vermez — dik üçgen ikizkenar olabilir de olmayabilir de.
ABC üçgeninde |AB| = 7 cm, |BC| = 9 cm ve |AC| = 8 cm'dir. Buna göre üçgenin açılarının ölçüleri arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — m(A) > m(B) > m(C)
Bir üçgende büyük kenarın karşısında büyük açı bulunur. A köşesinin karşısındaki kenar |BC| = 9 cm, B köşesinin karşısındaki kenar |AC| = 8 cm, C köşesinin karşısındaki kenar |AB| = 7 cm'dir. 9 > 8 > 7 olduğundan m(A) > m(B) > m(C) sıralaması elde edilir. m(C) > m(B) > m(A) şıkkı, kenar uzunluklarının karşı köşeye değil de bitişik köşeye atanmasından doğar. Cevap A.
Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları 4 cm ve 9 cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre bu üçgenin çevresi en az kaç cm olabilir?
Doğru cevap: B — 19
Üçgen eşitsizliğine göre üçüncü kenar x için 9 - 4 < x < 9 + 4, yani 5 < x < 13 olmalıdır. x bir tam sayı olduğundan en küçük değeri 6 cm'dir. Çevre en az 4 + 9 + 6 = 19 cm bulunur. 18 şıkkı, x'in 5 alınmasından doğar; 5 değeri eşitsizliğin sınırıdır ve bu durumda üçgen oluşmaz. Cevap B.
ABC üçgeninde m(C) = 90°, |AC| = 8 cm ve |BC| = 15 cm'dir. Buna göre |AB| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 17
C köşesindeki açı dik olduğundan hipotenüs [AB] kenarıdır. |AB|² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 ve |AB| = 17 cm bulunur. 23 şıkkı, dik kenarların doğrudan toplanmasından doğar; hipotenüs iki dik kenarın toplamından her zaman küçüktür. Cevap C.
Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğu 20 cm'dir. Buna göre hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 10
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. (Hipotenüsün orta noktası, çevrel çemberin merkezidir.) Uzunluk 20 : 2 = 10 cm bulunur. 20 şıkkı hipotenüsün kendi uzunluğudur; kenarortay bunun yarısıdır. Cevap D.
ABC üçgeninde B ve C açılarının iç açıortayları O noktasında kesişmektedir. m(BOC) = 130° olduğuna göre m(A) kaç derecedir?
Doğru cevap: E — 80
İç açıortayların kesiştiği noktada m(BOC) = 90° + m(A)/2 bağıntısı geçerlidir. 90 + m(A)/2 = 130 ise m(A)/2 = 40 ve m(A) = 80° bulunur. 50 şıkkı, 180° - 130° işleminden doğar; oysa BOC açısı ile A açısı bütünler değildir. 40 şıkkı ise m(A)/2 değeridir. Cevap E.
ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 10 cm ve m(A) = 30°'dir. Buna göre ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 20
İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen üçgende alan, (1/2) · |AB| · |AC| · sin A bağıntısıyla bulunur. sin 30° = 1/2 olduğundan Alan = (1/2) · 8 · 10 · (1/2) = 20 cm² bulunur. 40 şıkkı, formüldeki 1/2 çarpanının unutulmasından doğar (8 · 10 · 1/2 = 40). Cevap A.
ABC üçgeninde m(B) = 70° ve m(C) = 50°'dir. A köşesinden çizilen iç açıortay ile [BC] kenarına ait yükseklik arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: B — 10
m(A) = 180° - (70° + 50°) = 60° olduğundan açıortay A açısını 30°'lik iki parçaya ayırır. B köşesindeki açı 70° olduğundan yüksekliğin ayağının bulunduğu dik üçgende, yükseklik ile [AB] arasındaki açı 90° - 70° = 20°'dir. Açıortay ile [AB] arasındaki açı 30° olduğundan aradaki fark 30° - 20° = 10° bulunur. (Genel kural: açı = |m(B) - m(C)| : 2.) 20 şıkkı, iki açının farkının (70 - 50) ikiye bölünmemesinden doğar. Cevap B.
Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 5
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² olduğundan üçgen diktir ve hipotenüsü 10 cm'dir. Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır; yarıçap hipotenüsün yarısıdır. R = 10 : 2 = 5 cm bulunur. 10 şıkkı, hipotenüsün doğrudan yarıçap sanılmasından doğar. 2 şıkkı ise aynı üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapıdır (Alan : u = 24 : 12). Cevap C.
Benzer iki üçgende birbirine karşılık gelen iki kenarın uzunlukları 6 cm ve 15 cm'dir. Küçük üçgenin çevresi 20 cm olduğuna göre büyük üçgenin çevresi kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 50
Benzer üçgenlerde çevrelerin oranı, benzerlik oranına eşittir: 6/15 = 2/5. Büyük üçgenin çevresi Ç ise 20/Ç = 2/5 olur. Buradan Ç = 50 cm bulunur. 8 şıkkı, oranın ters kurulmasından (20 · 6 : 15) doğar; büyük üçgenin çevresi küçüğünkinden büyük olmalıdır. Cevap D.
ABC üçgeninde |AB| = 10 cm ve |AC| = 6 cm'dir. A açısının iç açıortayı [BC] kenarını D noktasında kesmektedir. |DC| = 3 cm olduğuna göre |BC| kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 8
İç açıortay teoremine göre |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 10/6 = 5/3'tür. |BD| / 3 = 5/3 ise |BD| = 5 cm bulunur. |BC| = |BD| + |DC| = 5 + 3 = 8 cm'dir. 5 şıkkı, yalnızca |BD| uzunluğudur; soruda kenarın tamamı istenmektedir. Cevap E.
ABC üçgeninde D noktası [BC] kenarı üzerinde olup |BD| = 2·|DC|'dir. E noktası [AB] kenarının orta noktasıdır. ABC üçgeninin alanı 60 cm² olduğuna göre BED üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 20
D noktası [BC] kenarını 2/3 ve 1/3 oranında ayırdığından ABD üçgeninin alanı 60 · 2/3 = 40 cm²'dir. E, [AB] kenarının orta noktası olduğundan [DE] doğru parçası ABD üçgenini eşit alanlı iki parçaya böler. Alan(BED) = 40 : 2 = 20 cm² bulunur. 40 şıkkı ABD üçgeninin alanıdır; E noktasıyla yapılan ikinci bölme uygulanmamıştır. Cevap A.
