Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Üçgenler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 121 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 4. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
3 kolay7 orta5 zor
ABC üçgeninin ağırlık merkezi G noktasıdır. ABC üçgeninin alanı 54 cm² olduğuna göre GBC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: B — 18
Ağırlık merkezi, üçgeni köşelerle birleştirildiğinde eşit alanlı üç üçgene ayırır. Alan(GAB) = Alan(GBC) = Alan(GAC) = 54 : 3 = 18 cm² bulunur. 27 şıkkı, bir kenarortayın üçgeni ayırdığı iki eş alandan biridir (54 : 2); ağırlık merkezinden çıkan üçgen bunun 2/3'ü kadardır. Cevap B.
ABC üçgeninde m(A) = 90°, |AB| = 15 cm ve |BC| = 25 cm'dir. A köşesinden [BC] hipotenüsüne indirilen dikmenin ayağı H noktası olduğuna göre |BH| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 9
Öklid bağıntısına göre bir dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün çarpımına eşittir: |AB|² = |BH| · |BC|. 15² = |BH| · 25 ise 225 = 25·|BH| ve |BH| = 9 cm bulunur. 16 şıkkı |HC| uzunluğudur (25 - 9); soruda |BH| istenmektedir. Cevap C.
Bir eşkenar üçgenin alanı 36√3 cm²'dir. Buna göre bu üçgenin bir kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 12
Bir kenarı a olan eşkenar üçgenin alanı a²√3/4'tür. a²√3/4 = 36√3 ise a² = 144 ve a = 12 cm bulunur. 6 şıkkı, formüldeki 4'e bölme işleminin unutulup a² = 36 alınmasından doğar. Cevap D.
ABC üçgeninin üç kenarortayı ağırlık merkezinde kesişerek üçgeni alanları eşit altı küçük üçgene ayırmaktadır. ABC üçgeninin alanı 48 cm² olduğuna göre bu küçük üçgenlerden birinin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 8
Üç kenarortay üçgeni alanları birbirine eşit altı üçgene böler. Her birinin alanı 48 : 6 = 8 cm² bulunur. 16 şıkkı, üçgenin yalnızca üçe bölündüğünün sanılmasından (48 : 3) doğar; bu değer ağırlık merkezi ile bir kenarın oluşturduğu üçgenin alanıdır. Cevap A.
ABC üçgeninde |AB| = 8 cm ve |AC| = 6 cm'dir. A köşesinden [BC] kenarına çizilen kenarortayın uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre bu uzunluk kaç farklı değer alabilir?
Doğru cevap: B — 5
Kenarortay uzunluğu V için |AB - AC| / 2 < V < (AB + AC) / 2 eşitsizliği geçerlidir. (8 - 6)/2 < V < (8 + 6)/2, yani 1 < V < 7 olur. V tam sayı olduğundan 2, 3, 4, 5 ve 6 değerlerini alabilir; bu da 5 farklı değerdir. 7 şıkkı, uç değerler olan 1 ile 7'nin de sayılmasından doğar; eşitsizlik kesin olduğu için bu değerler alınamaz. Cevap B.
ABC üçgeninde |AB| = 9 cm, |AC| = 6 cm ve |BC| = 5 cm'dir. A açısının dış açıortayı, BC doğrusunu C noktasının ötesindeki D noktasında kesmektedir. Buna göre |CD| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 10
Dış açıortay teoremine göre |DB| / |DC| = |AB| / |AC| = 9/6 = 3/2'dir. |DC| = x dersek |DB| = 5 + x olur: (5 + x)/x = 3/2. 2(5 + x) = 3x ise 10 + 2x = 3x ve x = 10 cm bulunur. 15 şıkkı |DB| uzunluğudur (5 + 10); soruda |CD| istenmektedir. Cevap C.
Bir merdivenin alt ucu duvarın dibinden 5 metre uzağa yerleştirilmiştir. Merdivenin uzunluğu 13 metre olduğuna göre üst ucu duvarda yerden kaç metre yüksektedir?
Doğru cevap: D — 12
Duvar zeminle dik açı yaptığından merdiven, dik kenarları 5 m ve h, hipotenüsü 13 m olan bir dik üçgen oluşturur. h² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144 ise h = 12 m bulunur. 18 şıkkı, 13 ile 5'in toplanmasından doğar; Pisagor bağıntısında kareler farkı alınmalıdır. Cevap D.
ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| = 10 cm ve |BC| = 12 cm'dir. Buna göre bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 3
A köşesinden [BC] kenarına inen yükseklik tabanı ortalar: 12 : 2 = 6 cm. Yükseklik h² = 10² - 6² = 64 ve h = 8 cm'dir; Alan = (12 · 8) : 2 = 48 cm². Çevrenin yarısı u = (10 + 10 + 12) : 2 = 16 cm'dir. İç teğet çember yarıçapı r = Alan : u = 48 : 16 = 3 cm bulunur. 1,5 şıkkı, alanın çevrenin yarısı yerine çevrenin tamamına bölünmesinden doğar. Cevap E.
Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları 8 cm ve 12 cm, bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü 150°'dir. Buna göre bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 24
Alan = (1/2) · 8 · 12 · sin 150° bağıntısı kullanılır. sin 150° = sin 30° = 1/2 olduğundan Alan = (1/2) · 96 · (1/2) = 24 cm² bulunur. 48 şıkkı, formüldeki 1/2 çarpanının unutulmasından doğar. 96 şıkkı ise iki kenarın çarpımıdır. Cevap A.
ABC üçgeninde D noktası [AB] kenarı, E noktası [AC] kenarı üzerindedir ve [DE] // [BC]'dir. ADE üçgeninin alanı DBCE dörtgeninin alanına eşit olduğuna göre |AD| / |AB| oranı kaçtır?
Doğru cevap: B — √2/2
[DE] // [BC] olduğundan ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. İki alan eşit olduğundan ADE üçgeninin alanı, ABC üçgeninin alanının yarısıdır. Alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir: (|AD|/|AB|)² = 1/2. Buradan |AD|/|AB| = 1/√2 = √2/2 bulunur. 1/2 şıkkı, alan oranı 1/2 iken kenar oranının da 1/2 olacağının sanılmasından doğar; karekök alınmalıdır. Cevap B.
ABC üçgeninde m(A) = 90°, |AB| = 8 cm ve |AC| = 6 cm'dir. A açısının iç açıortayı [BC] kenarını D noktasında kestiğine göre |BD| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 40/7
Pisagor bağıntısıyla |BC| = √(8² + 6²) = √100 = 10 cm'dir. İç açıortay teoremine göre |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 8/6 = 4/3'tür. [BC] kenarı 4 + 3 = 7 birime ayrılır: |BD| = 10 · 4/7 = 40/7 cm bulunur. 30/7 şıkkı |DC| uzunluğudur (10 · 3/7); soruda |BD| istenmektedir. Cevap C.
Dik kenarlarının uzunlukları 9 cm ve 12 cm olan bir dik üçgende, iç teğet çemberin yarıçapı ile çevrel çemberin yarıçapının toplamı kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 10,5
Hipotenüs √(9² + 12²) = √225 = 15 cm'dir. Dik üçgende iç teğet çember yarıçapı r = (dik kenarlar toplamı - hipotenüs) : 2 = (9 + 12 - 15) : 2 = 3 cm'dir. Çevrel çember yarıçapı hipotenüsün yarısıdır: R = 15 : 2 = 7,5 cm. Toplam 3 + 7,5 = 10,5 cm bulunur. 7,5 şıkkı yalnızca çevrel çemberin yarıçapıdır; iç teğet çemberin yarıçapı eklenmemiştir. Cevap E.
ABC üçgeninde m(B) = 55°'dir. Buna göre A ve C köşelerindeki dış açıların ölçüleri toplamı kaç derecedir?
Doğru cevap: A — 235
A köşesindeki dış açı 180° - m(A), C köşesindeki dış açı 180° - m(C)'dir. Toplam 360° - [m(A) + m(C)] biçimindedir. İç açılar toplamı 180° olduğundan m(A) + m(C) = 180° - 55° = 125°'dir. Toplam 360° - 125° = 235° bulunur. 305 şıkkı, 360° - 55° işleminden doğar; çıkarılması gereken, verilen açı değil diğer iki iç açının toplamıdır. Cevap A.
Bir dik üçgende dar açılardan birinin ölçüsü 25°'dir. Buna göre diğer dar açının ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: B — 65
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir; dik açı 90° olduğuna göre iki dar açının ölçüleri toplamı 90°'dir. Diğer dar açı 90° - 25° = 65° bulunur. 155 şıkkı, 180° - 25° işleminden doğar; bu değer dik açının da hesaba katılmadığı hatalı bir sonuçtur. Cevap B.
ABC üçgeninde m(C) = 60° ve m(A), m(B)'den 20° fazladır. Buna göre m(A) kaç derecedir?
Doğru cevap: D — 70
İç açılar toplamı 180° olduğundan m(A) + m(B) = 180° - 60° = 120°'dir. m(A) = m(B) + 20 yerine yazılırsa m(B) + 20 + m(B) = 120 olur. 2·m(B) = 100 ise m(B) = 50° ve m(A) = 70° bulunur. 50 şıkkı m(B) açısının ölçüsüdür. Cevap D.
