Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Üçgenler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 121 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 5. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
4 kolay11 orta0 zor
Çevresi 40 cm olan bir üçgenin iki kenarının uzunlukları 15 cm ve 13 cm'dir. Buna göre üçüncü kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: A — 12
Çevre, üç kenarın uzunlukları toplamıdır. Üçüncü kenar 40 - (15 + 13) = 40 - 28 = 12 cm bulunur. 25 şıkkı, çevreden yalnızca bir kenarın çıkarılmasından (40 - 15) doğar. Kontrol: 12 + 13 > 15 olduğundan üçgen eşitsizliği sağlanır. Cevap A.
Bir üçgenin kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 sayılarıyla orantılıdır. Üçgenin çevresi 36 cm olduğuna göre en uzun kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: B — 15
Kenarlar 3k, 4k ve 5k olsun. Çevre 3k + 4k + 5k = 12k = 36 ise k = 3'tür. En uzun kenar 5k = 5 · 3 = 15 cm bulunur. 12 şıkkı, ortadaki kenarın uzunluğudur (4 · 3). Cevap B.
Kenar uzunlukları x, x + 2 ve x + 4 santimetre olan bir üçgen çizilebilmektedir. x bir tam sayı olduğuna göre en az kaç olabilir?
Doğru cevap: C — 3
Üçgen eşitsizliğine göre en uzun kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır. x + (x + 2) > x + 4 ise 2x + 2 > x + 4 ve x > 2 bulunur. x tam sayı olduğundan en küçük değeri 3'tür. 2 şıkkı, eşitsizlikte eşitliğe de izin verilmesinden doğar; x = 2 için kenarlar 2, 4, 6 olur ve 2 + 4 = 6 olduğundan üçgen oluşmaz. Cevap C.
ABC üçgeninde m(A) = 80° ve m(B) = 60°'dir. Buna göre bu üçgenin en kısa kenarı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — [AB]
m(C) = 180° - (80° + 60°) = 40° olduğundan en küçük açı C köşesindedir. Bir üçgende en küçük açının karşısında en kısa kenar bulunur; C köşesinin karşısındaki kenar [AB]'dir. [BC] şıkkı, en büyük açı olan A'nın karşısındaki kenardır ve üçgenin en uzun kenarıdır. Cevap D.
Bir üçgende bir köşedeki iç açının açıortayı ile aynı köşedeki dış açının açıortayı arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: E — 90
Köşedeki iç açının ölçüsü x olsun; dış açının ölçüsü 180° - x'tir. İç açıortay, iç açıyı x/2'lik iki parçaya; dış açıortay, dış açıyı (180 - x)/2'lik iki parçaya ayırır. Aranan açı x/2 + (180 - x)/2 = 180/2 = 90°'dir ve x'ten bağımsızdır. 45 şıkkı, bulunan 90°'lik açının bir kez daha yarıya bölünmesinden doğar. Cevap E.
ABC üçgeninde m(C) = 90°, m(A) = 30° ve |AB| = 20 cm'dir. Buna göre ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 50√3
[AB] hipotenüstür. 30°'lik açının karşısındaki kenar |BC| = 20 : 2 = 10 cm'dir. Diğer dik kenar |AC| = 10√3 cm'dir. Alan = (10 · 10√3) : 2 = 50√3 cm² bulunur. 100√3 şıkkı, dik kenarların çarpımının 2'ye bölünmemesinden doğar. Cevap A.
ABC üçgeninde |AB| = 3 cm, |AC| = 5 cm ve m(A) = 120°'dir. Buna göre |BC| kaç cm'dir?
Doğru cevap: B — 7
Kosinüs bağıntısı kullanılır: |BC|² = |AB|² + |AC|² - 2·|AB|·|AC|·cos A. cos 120° = -1/2 olduğundan |BC|² = 9 + 25 - 2 · 3 · 5 · (-1/2) = 34 + 15 = 49'dur. |BC| = 7 cm bulunur. √34 şıkkı, kosinüslü terimin ihmal edilip yalnızca 9 + 25 toplamının alınmasından doğar; bu ancak açı 90° olsaydı geçerli olurdu. Geniş açının karşısındaki kenar iki kenardan da uzun olmalıdır; 7 > 5 koşulu sağlanmaktadır. Cevap B.
Benzer iki üçgenin alanları 25 cm² ve 49 cm²'dir. Küçük üçgenin bir kenarının uzunluğu 10 cm olduğuna göre büyük üçgende buna karşılık gelen kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 14
Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: k² = 25/49 ise k = 5/7'dir. 10 / x = 5/7 ise x = 14 cm bulunur. 19,6 şıkkı, alan oranının doğrudan kenar oranı sanılıp 10 · 49/25 işleminin yapılmasından doğar; karekök alınmalıdır. Cevap C.
Köşelerinin koordinatları A(1, 2), B(5, 4) ve C(6, 6) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatlarının toplamı kaçtır?
Doğru cevap: D — 8
Ağırlık merkezinin koordinatları, köşe koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır. x = (1 + 5 + 6) : 3 = 4 ve y = (2 + 4 + 6) : 3 = 4'tür. Toplam 4 + 4 = 8 bulunur. 12 şıkkı, apsislerin toplamının (1 + 5 + 6) 3'e bölünmeden kullanılmasından doğar. Cevap D.
ABC üçgeninde D noktası [AB] kenarı, E noktası [AC] kenarı üzerindedir ve [DE] // [BC]'dir. |AD| = 5 cm, |DB| = 3 cm ve |BC| = 16 cm olduğuna göre |DE| kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 10
[DE] // [BC] olduğundan ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı |AD| / |AB| = 5 / (5 + 3) = 5/8'dir. |DE| = 16 · 5/8 = 10 cm bulunur. 6 şıkkı, oranın |DB| / |AB| = 3/8 biçiminde kurulmasından doğar. Cevap E.
ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| ve m(A) = 40°'dir. B köşesinden [AC] kenarına indirilen yüksekliğin ayağı D noktası olduğuna göre m(ABD) kaç derecedir?
Doğru cevap: B — 50
[BD] ⊥ [AC] olduğundan ABD üçgeninde m(ADB) = 90°'dir. ABD üçgeninde m(A) = 40° olduğundan m(ABD) = 180° - (90° + 40°) = 50° bulunur. 70 şıkkı, ikizkenar üçgenin taban açısı m(ABC)'nin ölçüsüdür [(180 - 40) : 2]; soruda yüksekliğin ayırdığı parça istenmektedir. Cevap B.
ABC üçgeninde D noktası [AB] kenarı üzerinde olup |AD| = (1/3)·|AB|'dir. E noktası [AC] kenarı üzerinde olup |AE| = (1/2)·|AC|'dir. ABC üçgeninin alanı 60 cm² olduğuna göre ADE üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: C — 10
Ortak açıya sahip üçgenlerde alanların oranı, bu açıyı oluşturan kenarların oranlarının çarpımına eşittir. Alan(ADE) / Alan(ABC) = (|AD|/|AB|) · (|AE|/|AC|) = (1/3) · (1/2) = 1/6'dır. Alan(ADE) = 60 · 1/6 = 10 cm² bulunur. 30 şıkkı, yalnızca bir oranın uygulanmasından (60 · 1/2) doğar. Cevap C.
Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları 5 cm ve 8 cm'dir. Üçgenin çevresi santimetre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre çevre kaç farklı değer alabilir?
Doğru cevap: D — 9
Üçüncü kenar x için 8 - 5 < x < 8 + 5, yani 3 < x < 13 olmalıdır. x tam sayı olduğundan 4, 5, ..., 12 değerlerini alır; bu 9 farklı değerdir. Çevre 13 + x biçiminde olduğundan çevre de 9 farklı değer alır (17'den 25'e kadar). 11 şıkkı, 3 ile 13 uç değerlerinin de sayılmasından doğar; bu değerlerde üçgen oluşmaz. Cevap D.
ABC üçgeninde iç açıların ölçüleri m(A) = (3x - 10)°, m(B) = (2x + 20)° ve m(C) = (x + 50)°'dir. Buna göre en büyük açının ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: E — 70
İç açılar toplamı 180° olduğundan (3x - 10) + (2x + 20) + (x + 50) = 180 yazılır. 6x + 60 = 180 ise 6x = 120 ve x = 20 bulunur. Açılar m(A) = 50°, m(B) = 60° ve m(C) = 70°'dir; en büyüğü 70°'dir. 20 şıkkı, bulunan x değerinin doğrudan cevap sanılmasından doğar. Cevap E.
ABC üçgeninde D noktası [AB] kenarının, E noktası [AC] kenarının orta noktasıdır. ADE üçgeninin alanı 9 cm² olduğuna göre DBCE dörtgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: E — 27
D ve E orta noktalar olduğundan [DE] // [BC]'dir ve ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir; benzerlik oranı 1/2'dir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: 1/4. Buna göre Alan(ABC) = 4 · 9 = 36 cm²'dir. Alan(DBCE) = 36 - 9 = 27 cm² bulunur. 18 şıkkı, alanlar oranının da benzerlik oranı gibi 1/2 sanılıp Alan(ABC) = 2 · 9 = 18 cm² bulunmasından ve sorulan dörtgen yerine bu değerin işaretlenmesinden doğar. Cevap E.
