KPSS Pusulası — Ana Sayfa

Çözümlü sorular · okuma modu

Üçgenler — Test 6

KPSS Matematik dersinin Üçgenler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 121 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 6. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.

7 kolay6 orta2 zor

▶ Bu testi interaktif çözTüm testler

  1. Soru 1

    Zor

    Bir kenarının uzunluğu 6 cm olan ABC eşkenar üçgeninde D noktası [BC] kenarı üzerinde olup |BD| = 2 cm'dir. Buna göre |AD| kaç cm'dir?

    • A)4
    • B)2√5
    • C)5
    • D)2√7
    • E)2√13
    Çözümü göster

    Doğru cevap: D — 2√7

    A köşesinden [BC] kenarına indirilen yükseklikle çalışmak yerine kosinüs bağıntısı kullanılabilir; eşkenar üçgende m(B) = 60°'dir. |AD|² = |AB|² + |BD|² - 2·|AB|·|BD|·cos 60° = 36 + 4 - 2 · 6 · 2 · (1/2) = 40 - 12 = 28. |AD| = √28 = 2√7 cm bulunur. 2√13 şıkkı, bağıntıdaki çıkarma işleminin toplama olarak uygulanmasından (36 + 4 + 12 = 52) doğar. Cevap D.

  2. Soru 2

    Kolay

    Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğu 10 cm'dir. Buna göre bir dik kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

    • A)4
    • B)5
    • C)6
    • D)7
    • E)5√2
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — 5√2

    İkizkenar dik üçgende hipotenüs, dik kenarın √2 katıdır: a√2 = 10. a = 10/√2 = 5√2 cm bulunur. 5 şıkkı, hipotenüsün yarısının alınmasından doğar; bu değer yalnızca 30°'lik açının karşısındaki kenar için geçerlidir. Kontrol: (5√2)² + (5√2)² = 50 + 50 = 100 = 10². Cevap E.

  3. Soru 3

    Kolay

    Kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm olan bir üçgenin alanı kaç cm²'dir?

    • A)24
    • B)26
    • C)30
    • D)60
    • E)78
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 30

    5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² olduğundan bu üçgen, dik kenarları 5 cm ve 12 cm olan bir dik üçgendir. Alan = (5 · 12) : 2 = 30 cm² bulunur. 60 şıkkı, dik kenarların çarpımının 2'ye bölünmemesinden doğar. 78 şıkkı ise 12 ile 13'ün dik kenar sanılmasından doğar; 13 cm hipotenüstür. Cevap C.

  4. Soru 4

    Kolay

    ABC üçgeninde m(A) = 65° ve m(B) = 47°'dir. Buna göre m(C) kaç derecedir?

    • A)68
    • B)70
    • C)72
    • D)102
    • E)112
    Çözümü göster

    Doğru cevap: A — 68

    Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180°'dir. m(C) = 180° - (65° + 47°) = 180° - 112° = 68° bulunur. 112 şıkkı, verilen iki açının toplamıdır; bu değer aslında C köşesindeki dış açının ölçüsüdür. Cevap A.

  5. Soru 5

    Kolay

    Bir dik üçgende dar açılardan birinin ölçüsü, diğerinin ölçüsünün 4 katıdır. Buna göre büyük olan dar açının ölçüsü kaç derecedir?

    • A)18
    • B)72
    • C)75
    • D)80
    • E)90
    Çözümü göster

    Doğru cevap: B — 72

    Dik üçgende iki dar açının ölçüleri toplamı 90°'dir. Açılar x ve 4x olsun: x + 4x = 90 ise 5x = 90 ve x = 18°'dir. Büyük dar açı 4 · 18 = 72° bulunur. 18 şıkkı küçük dar açının ölçüsüdür. 72 şıkkı için kontrol: 18 + 72 = 90°. Cevap B.

  6. Soru 6

    Kolay

    Bir kenarının uzunluğu 10 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm'dir?

    • A)5
    • B)6
    • C)5√2
    • D)8
    • E)5√3
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — 5√3

    Eşkenar üçgende yükseklik, tabanı iki eş parçaya böler ve 30-60-90 üçgeni oluşturur. Yükseklik h = a√3/2 bağıntısıyla bulunur: h = 10√3/2 = 5√3 cm. 5 şıkkı, kenarın yarısıdır; bu, yüksekliğin ayağı ile köşe arasındaki taban parçasının uzunluğudur, yüksekliğin kendisi değildir. Cevap E.

  7. Soru 7

    Orta

    Benzer iki üçgenin alanları 4,5 cm² ve 12,5 cm²'dir. Küçük üçgenin çevresi 12 cm olduğuna göre büyük üçgenin çevresi kaç cm'dir?

    • A)15
    • B)18
    • C)20
    • D)30
    • E)100/3
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 20

    Alanların oranı 4,5/12,5 = 9/25'tir. Benzerlik oranı bunun kareköküdür: 3/5. Çevrelerin oranı benzerlik oranına eşittir: 12 / Ç = 3/5 ise Ç = 20 cm bulunur. 100/3 şıkkı, alan oranının doğrudan çevre oranı olarak kullanılmasından (12 · 12,5/4,5) doğar. Cevap C.

  8. Soru 8

    Orta

    ABC üçgeninde |AB| = 20 cm ve |AC| = 15 cm'dir. A açısının iç açıortayı [BC] kenarını D noktasında kesmektedir ve |BD| - |DC| = 4 cm'dir. Buna göre |BC| kaç cm'dir?

    • A)12
    • B)21
    • C)28
    • D)30
    • E)36
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 28

    Açıortay, karşı kenarı komşu kenarlarla orantılı böler: |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 20 / 15 = 4 / 3. |BD| = 4k ve |DC| = 3k yazılırsa fark 4k - 3k = k olur; |BD| - |DC| = 4 cm verildiğinden k = 4 cm bulunur. Buradan |BD| = 4·4 = 16 cm, |DC| = 3·4 = 12 cm ve |BC| = 16 + 12 = 28 cm elde edilir. Hesap sırasında bulunan |DC| = 12 cm'yi işaretleyip A şıkkını seçmek, sorunun [BC] kenarının tamamını istediğini gözden kaçırmaktır. Cevap C.

  9. Soru 9

    Orta

    ABC üçgeninde |BC| = 18 cm olup bu kenara ait yüksekliğin uzunluğu 10 cm'dir. D noktası [BC] kenarı üzerinde olup |BD| = 2·|DC|'dir. Buna göre ADC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

    • A)24
    • B)30
    • C)36
    • D)45
    • E)60
    Çözümü göster

    Doğru cevap: B — 30

    ABC üçgeninin alanı 18·10 : 2 = 90 cm²'dir. |BD| = 2·|DC| ve |BD| + |DC| = 18 olduğundan |DC| = 6 cm, |BD| = 12 cm'dir. ADC üçgeninin tabanı 6 cm, yüksekliği aynı yükseklik olan 10 cm'dir; alanı 6·10 : 2 = 30 cm²'dir. ABD üçgeninin alanı olan 60 cm² ile karıştırılmamalıdır. Cevap 30.

  10. Soru 10

    Orta

    ABC üçgeninde D noktası [AB] kenarı üzerinde, E noktası [AC] kenarı üzerindedir ve [DE] // [BC]'dir. |AD| = 6 cm, |DB| = 9 cm ve |DE| = 8 cm'dir. Buna göre |BC| kaç cm'dir?

    • A)12
    • B)14
    • C)16
    • D)18
    • E)20
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — 20

    [DE] // [BC] olduğundan ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı |AD| / |AB| = 6 / (6 + 9) = 6 / 15 = 2 / 5'tir. |DE| / |BC| = 2 / 5 olduğundan 8 / |BC| = 2 / 5 ve |BC| = 20 cm bulunur. Oran |AD| / |DB| = 6 / 9 sanılıp 8 · 9 / 6 = 12 hesaplanırsa yanlış sonuç elde edilir; benzerlikte paydada tam kenar olan |AB| kullanılır. Cevap 20.

  11. Soru 11

    Kolay

    Bir açının tümlerinin ölçüsü, bu açının ölçüsünün 2 katıdır. Buna göre bu açının ölçüsü kaç derecedir?

    • A)15
    • B)20
    • C)30
    • D)45
    • E)60
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 30

    Açının ölçüsü x ise tümlerinin ölçüsü 90 - x'tir. Koşula göre 90 - x = 2x, yani 90 = 3x olur. Buradan x = 30° bulunur; tümleri 60° olup 60 = 2·30 eşitliği doğrulanır. E şıkkındaki 60, sorulan açı yerine onun tümlerinin işaretlenmesinden doğar. Cevap C.

  12. Soru 12

    Kolay

    ABC üçgeninde iç açıların ölçüleri m(A) = (x + 10)°, m(B) = 2x ve m(C) = (3x + 20)° biçimindedir. Buna göre m(A) kaç derecedir?

    • A)35
    • B)50
    • C)55
    • D)70
    • E)95
    Çözümü göster

    Doğru cevap: A — 35

    Üçgenin iç açılarının ölçüleri (x + 10)°, (2x)° ve (3x + 20)° olduğundan, iç açılar toplamının 180° olması kuralıyla (x + 10) + 2x + (3x + 20) = 180 denklemi kurulur. Sol taraf düzenlenirse 6x + 30 = 180, yani 6x = 150 ve x = 25 bulunur. Buradan m(A) = 25 + 10 = 35°, m(B) = 2·25 = 50° ve m(C) = 3·25 + 20 = 95° olur; toplamları 180° çıktığı için sonuç doğrulanır. Soruda m(A) istendiği hâlde hesapta bulunan m(C) = 95°'yi işaretleyen öğrenci E şıkkına, m(B) = 50°'yi işaretleyen öğrenci B şıkkına gider. Cevap A.

  13. Soru 13

    Orta

    Benzer iki üçgenin çevrelerinin oranı 2/3'tür. Küçük üçgenin alanı 36 cm²'dir. Buna göre büyük üçgenin alanı kaç cm²'dir?

    • A)54
    • B)72
    • C)81
    • D)90
    • E)144
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 81

    Benzer üçgenlerde çevrelerin oranı benzerlik oranına eşittir; burada benzerlik oranı 2/3'tür. Alanların oranı ise benzerlik oranının karesidir: (2/3)² = 4/9. 36 / S = 4 / 9 denkleminden S = 81 cm² bulunur. Alan doğrudan benzerlik oranıyla çarpılıp 36 · 3 / 2 = 54 denmesi, karesinin alınmasının unutulmasıdır. Cevap 81.

  14. Soru 14

    Zor

    ABC üçgeninde m(A) = 90°, |AB| = 12 cm ve |AC| = 16 cm'dir. A köşesinden [BC] hipotenüsüne indirilen dikmenin ayağı H noktasıdır. Buna göre |BH| kaç cm'dir?

    • A)6
    • B)6,4
    • C)7
    • D)7,2
    • E)9,6
    Çözümü göster

    Doğru cevap: D — 7,2

    Pisagor bağıntısından |BC| = √(12² + 16²) = √400 = 20 cm bulunur. Dik üçgende bir dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün çarpımına eşittir: |AB|² = |BH|·|BC|. 144 = |BH|·20 denkleminden |BH| = 7,2 cm bulunur. Hipotenüse ait yükseklik |AH| = 12·16 : 20 = 9,6 cm olup bu değerin işaretlenmesi, izdüşüm ile yüksekliğin karıştırılmasıdır. Cevap 7,2.

  15. Soru 15

    Orta

    Bir dik üçgenin çevresi 30 cm ve hipotenüsünün uzunluğu 13 cm'dir. Buna göre bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?

    • A)30
    • B)36
    • C)42
    • D)60
    • E)65
    Çözümü göster

    Doğru cevap: A — 30

    Dik kenarlar a ve b olsun: a + b = 30 - 13 = 17 ve a² + b² = 13² = 169'dur. (a + b)² = a² + 2ab + b² olduğundan 289 = 169 + 2ab ve 2ab = 120, yani ab = 60'tır. Alan = ab : 2 = 30 cm² bulunur. (Kenarlar 5 ve 12'dir.) 60 şıkkı, dik kenarların çarpımının 2'ye bölünmemesinden doğar. Cevap A.

Sponsorlu