KPSS Pusulası — Ana Sayfa

Çözümlü sorular · okuma modu

Üçgenler — Test 8

KPSS Matematik dersinin Üçgenler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 121 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.

7 kolay2 orta6 zor

▶ Bu testi interaktif çözTüm testler

  1. Soru 1

    Zor

    ABC üçgeninde D noktası [BC] kenarı üzerinde olup |BD| = |DC|'dir. E noktası [AC] kenarı üzerinde olup |AE| = 2·|EC|'dir. ABC üçgeninin alanı 72 cm²'dir. Buna göre ADE üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

    • A)12
    • B)16
    • C)18
    • D)20
    • E)24
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — 24

    D noktası [BC]'nin orta noktası olduğundan [AD] kenarortaydır ve Alan(ADC) = 72 : 2 = 36 cm²'dir. ADE ile ADC üçgenlerinin D köşesinden [AC] doğrusuna olan yükseklikleri aynıdır; alanları tabanları olan |AE| ile |AC| ile orantılıdır. |AE| = 2·|EC| olduğundan |AE| / |AC| = 2/3'tür ve Alan(ADE) = 36 · 2/3 = 24 cm² bulunur. Kalan parça olan Alan(DEC) = 12 cm²'nin işaretlenmesi, hangi üçgenin sorulduğunun karıştırılmasıdır. Cevap 24.

  2. Soru 2

    Zor

    Benzerlik oranı 2/3 olan iki üçgenin alanları arasındaki fark 45 cm²'dir. Buna göre küçük üçgenin alanı kaç cm²'dir?

    • A)20
    • B)36
    • C)45
    • D)54
    • E)81
    Çözümü göster

    Doğru cevap: B — 36

    Benzerlik oranı 2/3 ise alanların oranı (2/3)² = 4/9'dur. Alanlar 4k ve 9k olsun: 9k - 4k = 5k = 45 ise k = 9'dur. Küçük üçgenin alanı 4 · 9 = 36 cm² bulunur. 81 şıkkı büyük üçgenin alanıdır (9 · 9); soruda küçük üçgenin alanı istenmektedir. Cevap B.

  3. Soru 3

    Zor

    Kenar uzunlukları 7 cm, 8 cm ve 9 cm olan bir üçgenin alanı kaç cm²'dir?

    • A)24
    • B)25
    • C)12√5
    • D)28
    • E)30
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 12√5

    Çevrenin yarısı u = (7 + 8 + 9) : 2 = 12 cm'dir. Heron bağıntısı: Alan = √(u·(u - a)·(u - b)·(u - c)) = √(12 · 5 · 4 · 3) = √720'dir. √720 = √(144 · 5) = 12√5 cm² bulunur. 28 şıkkı, 7 ile 8 kenarlarının dik kenar sanılıp (7 · 8) : 2 işleminin yapılmasından doğar; üçgen dik değildir. Cevap C.

  4. Soru 4

    Zor

    ABC üçgeninde D noktası [BC] kenarı üzerindedir. E noktası [AD] doğru parçası üzerinde olup |AE| = 2·|ED|'dir. ABC üçgeninin alanı 45 cm² olduğuna göre BEC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

    • A)9
    • B)10
    • C)12
    • D)15
    • E)30
    Çözümü göster

    Doğru cevap: D — 15

    BEC üçgeni ile ABC üçgeninin ortak tabanı [BC]'dir; alanların oranı, E ve A noktalarının [BC]'ye olan uzaklıklarının oranına eşittir. E noktası [AD] üzerinde |AE| = 2·|ED| olacak biçimde bulunduğundan E'nin [BC]'ye uzaklığı, A'nın uzaklığının |ED|/|AD| = 1/3 katıdır. Alan(BEC) = 45 · 1/3 = 15 cm² bulunur. 30 şıkkı, oranın 2/3 alınmasından doğar; A'ya yakın olan parça |AE| olduğundan tabana kalan uzaklık 1/3'tür. Cevap D.

  5. Soru 5

    Zor

    ABC üçgeninde |AB| = 13 cm, |AC| = 15 cm'dir. A köşesinden [BC] kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu 12 cm ve yüksekliğin ayağı [BC] kenarı üzerinde olduğuna göre |BC| kaç cm'dir?

    • A)4
    • B)10
    • C)12
    • D)13
    • E)14
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — 14

    Yüksekliğin ayağı H olsun. ABH dik üçgeninde |BH| = √(13² - 12²) = √25 = 5 cm'dir. ACH dik üçgeninde |HC| = √(15² - 12²) = √81 = 9 cm'dir. H noktası [BC] üzerinde olduğundan |BC| = 5 + 9 = 14 cm bulunur. 4 şıkkı, iki parçanın farkının (9 - 5) alınmasından doğar; bu ancak yüksekliğin ayağı kenarın dışında kalsaydı söz konusu olurdu. Cevap E.

  6. Soru 6

    Kolay

    Bir üçgenin her köşesinde birer tane olmak üzere alınan üç dış açısının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

    • A)360
    • B)540
    • C)600
    • D)720
    • E)900
    Çözümü göster

    Doğru cevap: A — 360

    Her köşede iç açı ile dış açı bütünlerdir; üç köşe için toplam 3 · 180° = 540°'dir. Bu toplamdan iç açıların toplamı olan 180° çıkarılırsa dış açıların toplamı 540° - 180° = 360° bulunur. 540 şıkkı, iç açıların çıkarılmasının unutulmasından doğar. Cevap A.

  7. Soru 7

    Kolay

    ABC üçgeninde |AB| = |AC| = 8 cm ve m(A) = 60°'dir. Buna göre bu üçgenin çevresi kaç cm'dir?

    • A)16
    • B)24
    • C)28
    • D)32
    • E)40
    Çözümü göster

    Doğru cevap: B — 24

    Üçgen ikizkenar olduğundan taban açıları eşittir: m(B) = m(C) = (180° - 60°) : 2 = 60°. Üç açının da ölçüsü 60° olduğundan üçgen eşkenardır ve |BC| = 8 cm'dir. Çevre 8 + 8 + 8 = 24 cm bulunur. 16 şıkkı, yalnızca eşit uzunluktaki iki kenarın toplamıdır; üçüncü kenar eklenmemiştir. Cevap B.

  8. Soru 8

    Orta

    Bir dik üçgenin kenar uzunlukları santimetre cinsinden ardışık üç tam sayıdır. Buna göre bu üçgenin çevresi kaç cm'dir?

    • A)9
    • B)10
    • C)12
    • D)15
    • E)18
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 12

    Kenarlar x, x + 1 ve x + 2 olsun; en uzun kenar hipotenüstür. x² + (x + 1)² = (x + 2)² ise 2x² + 2x + 1 = x² + 4x + 4 ve x² - 2x - 3 = 0 olur. (x - 3)(x + 1) = 0 denkleminden x = 3 bulunur; kenarlar 3, 4 ve 5 cm'dir. Çevre 3 + 4 + 5 = 12 cm'dir. 15 şıkkı, ardışık üçlünün 4, 5, 6 olduğunun varsayılmasından doğar; oysa 4² + 5² = 41 ve 6² = 36 olduğundan bu üçlü dik üçgen oluşturmaz. Cevap C.

  9. Soru 9

    Orta

    Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 9 cm olan bir üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    • A)Üçgen ikizkenardır.
    • B)En büyük açısının ölçüsü 90°'dir.
    • C)En büyük açısının ölçüsü 90°'den büyüktür.
    • D)En büyük açısının ölçüsü 90°'den küçüktür.
    • E)Üçgen eşkenardır.
    Çözümü göster

    Doğru cevap: D — En büyük açısının ölçüsü 90°'den küçüktür.

    Bir üçgende en büyük açı, en uzun kenarın karşısındadır; burada 9 cm'lik kenarın karşısındaki açıdır. Küçük iki kenarın kareleri toplamı ile en uzun kenarın karesi karşılaştırılır: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ve 9² = 81'dir. 100 > 81 olduğundan en büyük açının ölçüsü 90°'den küçüktür; üçgen dar açılıdır. En büyük açısının ölçüsü 90°'dir şıkkı, 6-8-10 üçgeniyle karıştırılmasından doğar; burada en uzun kenar 10 değil 9 cm'dir. Cevap D.

  10. Soru 10

    Zor

    Bir eşkenar üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı 6 cm'dir. Buna göre bu üçgenin bir kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

    • A)3√3
    • B)6
    • C)9
    • D)10
    • E)6√3
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — 6√3

    Eşkenar üçgende çevrel çemberin merkezi aynı zamanda ağırlık merkezidir ve yüksekliği 2/3 - 1/3 oranında böler. Kenarı a olan eşkenar üçgende yükseklik a√3/2 olduğundan R = (2/3)·(a√3/2) = a√3/3 = a/√3'tür. 6 = a/√3 ise a = 6√3 cm bulunur. 6 şıkkı, çevrel çember yarıçapının doğrudan kenar uzunluğu sanılmasından doğar. 3√3 şıkkı ise iç teğet çember yarıçapı (R : 2 = 3 cm) ile kurulan hatalı bir bağıntıdan doğar. Cevap E.

  11. Soru 11

    Kolay

    Bir açının ölçüsü, bütünlerinin ölçüsünün 5 katıdır. Buna göre bu açının ölçüsü kaç derecedir?

    • A)30
    • B)150
    • C)155
    • D)160
    • E)165
    Çözümü göster

    Doğru cevap: B — 150

    Açının ölçüsü x ise bütünlerinin ölçüsü 180 - x'tir. Koşula göre x = 5·(180 - x), yani x = 900 - 5x ve 6x = 900 olur. Buradan x = 150° bulunur; bütünleri 30° olup 150 = 5·30 eşitliği doğrulanır. Bütünlerin ölçüsü olan 30'un işaretlenmesi, sorunun hangi açıyı sorduğunun karıştırılmasıdır. Cevap 150.

  12. Soru 12

    Kolay

    Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri, derece cinsinden ardışık üç çift sayıdır. Buna göre bu üçgenin en büyük açısının ölçüsü kaç derecedir?

    • A)56
    • B)58
    • C)60
    • D)61
    • E)62
    Çözümü göster

    Doğru cevap: E — 62

    En küçük açının ölçüsü x ise diğerleri x + 2 ve x + 4 olur. Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan x + (x + 2) + (x + 4) = 180, yani 3x + 6 = 180 ve 3x = 174 elde edilir. Buradan x = 58 olup açılar 58°, 60° ve 62°'dir; en büyüğü 62°'dir. Açıların birbirine yakın olmasına bakılıp üçgenin eşkenar sanılması ve 60 denmesi hatalıdır. Cevap 62.

  13. Soru 13

    Kolay

    Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları 6 cm ve 13 cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayıdır. Buna göre üçüncü kenarın uzunluğu en az kaç cm olabilir?

    • A)6
    • B)7
    • C)8
    • D)9
    • E)10
    Çözümü göster

    Doğru cevap: C — 8

    Üçgen eşitsizliğine göre üçüncü kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın farkından büyük ve toplamından küçük olmalıdır. 13 - 6 = 7 ve 13 + 6 = 19 olduğundan 7 < a < 19 aralığı elde edilir. a bir tam sayı olduğundan en küçük değeri 8 cm'dir. Eşitsizlik katı olduğu hâlde farkın kendisi olan 7 alınırsa üçgen çizilemez; bu değerde üç nokta aynı doğru üzerinde kalır. Cevap 8.

  14. Soru 14

    Kolay

    ABC üçgeninde m(A) = 90°, m(C) = 30° ve |BC| = 12 cm'dir. Buna göre |AB| kaç cm'dir?

    • A)6
    • B)8
    • C)6√3
    • D)12
    • E)12√3
    Çözümü göster

    Doğru cevap: A — 6

    A açısı 90° olduğundan [BC] hipotenüstür ve m(B) = 180 - 90 - 30 = 60°'dir. 30-60-90 üçgeninde 30°'lik açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır; [AB] kenarı C açısının karşısındadır. Buradan |AB| = 12 : 2 = 6 cm bulunur. Diğer dik kenar |AC| = 6√3 cm olup bu değerin işaretlenmesi, hangi kenarın hangi açının karşısında olduğunun karıştırılmasıdır. Cevap 6.

  15. Soru 15

    Kolay

    Bir eşkenar üçgenin çevresi 48 cm'dir. Buna göre bu üçgenin bir kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

    • A)8
    • B)12
    • C)14
    • D)16
    • E)24
    Çözümü göster

    Doğru cevap: D — 16

    Eşkenar üçgenin üç kenarı da eşit uzunluktadır. Kenar uzunluğuna a dersek çevre 3a olur ve 3a = 48 denklemi kurulur. Buradan a = 16 cm bulunur. Çevre 2'ye bölünüp 24 denmesi, üçgende üç kenar bulunduğunun gözden kaçırılmasıdır. Cevap 16.

Sponsorlu