Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Çokgenler ve Dörtgenler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 4. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
1 kolay12 orta2 zor
Bir dikdörtgenin uzun kenarının uzunluğu, kısa kenarının uzunluğundan 5 cm fazladır. Dikdörtgenin alanı 84 cm² olduğuna göre çevresi kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 38
Kısa kenar a olsun; uzun kenar a + 5 olur ve a·(a + 5) = 84 yazılır. a² + 5a - 84 = 0 → (a - 7)(a + 12) = 0 → a = 7 cm bulunur; uzun kenar 12 cm olur. Çevre = 2·(7 + 12) = 38 cm elde edilir. Çevrede 2 çarpanını unutup 7 + 12 = 19 (A şıkkı) demek sık yapılan bir hatadır. Cevap E.
Bir karenin bir kenarının uzunluğu %20 artırılırsa alanı yüzde kaç artar?
Doğru cevap: B — 44
Kenar uzunluğu a iken alan a²'dir; kenar %20 artınca yeni kenar 1,2a olur. Yeni alan (1,2a)² = 1,44a² olur. Artış 1,44a² - a² = 0,44a², yani %44'tür. Kenardaki %20'lik artışı iki kez toplayıp %40 (A şıkkı) demek, kare alma işleminin çarpım olduğunu göz ardı etmektir. Cevap B.
[AB] // [DC] olan ABCD yamuğunda |AB| = 15 cm ve |DC| = 10 cm'dir. Köşegenler E noktasında kesişmekte olup |AE| = 12 cm'dir. Buna göre |EC| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 8
[AB] // [DC] olduğundan AEB ve CED üçgenleri benzerdir (iç ters açılar). Benzerlik oranı |AB|/|DC| = 15/10 = 3/2'dir; bu oran |AE|/|EC| için de geçerlidir. 12/|EC| = 3/2 → |EC| = 8 cm bulunur. Oranı ters kurup |EC| = 12·(3/2) = 18 cm (E şıkkı) demek, büyük tabana ait parçanın daha uzun olduğunu gözden kaçırmaktır. Cevap C.
Bir dikdörtgende köşegenlerin uzunluğu 12 cm ve köşegenler arasındaki dar açının ölçüsü 60°'dir. Buna göre bu dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: A — 6
Dikdörtgende köşegenler eşit uzunlukta olup birbirini ortalar; yarım köşegenler 6 cm'dir. Kısa kenar, iki yarım köşegen ile 60°'lik açının oluşturduğu üçgenin karşı kenarıdır. Bu üçgen ikizkenar ve tepe açısı 60° olduğundan eşkenardır; kısa kenar 6 cm bulunur. Köşegenler arasındaki 120°'lik açının karşısındaki uzun kenar 6√3 cm'dir; kısa kenarı bununla karıştırmak 6√3 (C şıkkı) hatasını verir. Cevap A.
ABCD dikdörtgeninde |AB| = 12 cm ve |BC| = 8 cm'dir. E noktası [AB] kenarının orta noktası olduğuna göre DEC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: B — 48 cm²
DEC üçgeninde taban [DC] alınırsa |DC| = |AB| = 12 cm olur. E noktası [AB] üzerinde olduğundan E'nin DC doğrusuna uzaklığı, dikdörtgenin |BC| = 8 cm'lik kenarına eşittir. Alan = (12·8)/2 = 48 cm² bulunur; bu değer E noktasının [AB] üzerindeki yerinden bağımsızdır. Dikdörtgenin tüm alanı 96 cm²'dir; üçgenin alanını bununla karıştırmak 96 cm² (E şıkkı) hatasını verir. Cevap B.
Kısa kenarının uzunluğu 5 cm, uzun kenarının uzunluğu 12 cm olan bir dikdörtgenin köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: A — 13 cm
Dikdörtgenin köşegeni, kenarların oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor teoremi uygulanır: k² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. k = √169 = 13 cm bulunur. Kenarları toplamak (17 cm) hatalı bir yaklaşımdır. Cevap 13 cm.
Bir yamukta paralel kenarların uzunlukları 3 ve 5 sayılarıyla doğru orantılıdır. Yamuğun orta tabanının uzunluğu 20 cm olduğuna göre uzun paralel kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: B — 25
Paralel kenarlar 3k ve 5k olsun; orta taban bunların toplamının yarısıdır. (3k + 5k)/2 = 20 → 4k = 20 → k = 5 bulunur. Uzun paralel kenar 5k = 25 cm olur. Sorulan uzun kenar yerine kısa kenar olan 3k = 15 cm (A şıkkı) seçilmesi sık yapılan bir hatadır. Cevap B.
Bir düzgün çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenler bu çokgeni 10 üçgensel bölgeye ayırmaktadır. Buna göre bu çokgenin bir dış açısının ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: C — 30
Bir köşeden çizilen köşegenler n kenarlı çokgeni (n - 2) üçgene ayırır. n - 2 = 10 → n = 12 bulunur. Düzgün çokgende dış açı 360°/n olduğundan 360/12 = 30° elde edilir. Üçgen sayısını doğrudan kenar sayısı sanıp 360/10 = 36° (D şıkkı) demek, iki eksik köşeyi hesaba katmamaktır. Cevap C.
Bir paralelkenarın köşegenlerinin uzunlukları 18 cm ve 14 cm, bir kenarının uzunluğu ise 10 cm'dir. Köşegenlerin kesim noktası O olmak üzere, kenarı [AB] olan ABO üçgeninin çevresi kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 26
Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar; yarım köşegenler 9 cm ve 7 cm olur. ABO üçgeninin kenarları |AO| = 9 cm, |BO| = 7 cm ve |AB| = 10 cm'dir. Çevre = 9 + 7 + 10 = 26 cm bulunur. Köşegenleri ortalamayı unutup 18 + 14 + 10 = 42 cm (E şıkkı) demek yaygın bir hatadır. Cevap D.
ABCD dörtgeninde |AB| = 6 cm, |BC| = 8 cm, m(ABC) = 90°, |CD| = 24 cm ve |AD| = 26 cm'dir. Buna göre bu dörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: E — 144 cm²
[AC] köşegeni çizilir; ABC dik üçgeninde |AC| = √(36 + 64) = 10 cm bulunur ve alanı (6·8)/2 = 24 cm² olur. ACD üçgeninde 10² + 24² = 100 + 576 = 676 = 26² olduğundan bu üçgen de C köşesinde diktir. Alan(ACD) = (10·24)/2 = 120 cm² olur. Toplam alan 24 + 120 = 144 cm² bulunur. Yalnızca ACD üçgeninin alanını yazıp 120 cm² (A şıkkı) demek, ABC üçgeninin alanını eklemeyi unutmaktır. Cevap E.
Kenar uzunlukları 5 cm ve 12 cm olan bir dikdörtgene benzeyen ve alanı bu dikdörtgenin alanının 4 katı olan dikdörtgenin çevresi kaç cm'dir?
Doğru cevap: A — 68
Benzer şekillerde alanların oranı, benzerlik oranının karesidir: k² = 4 → k = 2 bulunur. Büyük dikdörtgenin kenarları 10 cm ve 24 cm olur. Çevre = 2·(10 + 24) = 68 cm bulunur; bu değer küçük dikdörtgenin çevresi olan 34 cm'nin 2 katıdır. Çevreyi de alan gibi 4 katına çıkarıp 4·34 = 136 cm (E şıkkı) demek, uzunlukların yalnızca k katına çıktığını göz ardı etmektir. Cevap A.
Bir düzgün çokgenin her bir iç açısının ölçüsü 150°'dir. Buna göre bu çokgenin köşegenlerinin sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B — 54
İç açı 150° ise dış açı 180° - 150° = 30°'dir. 360/n = 30 → n = 12 bulunur. Köşegen sayısı n·(n - 3)/2 = 12·9/2 = 54 olur. İç açıyı 156° ile karıştırıp n = 15 almak 15·12/2 = 90 (E şıkkı) hatasını verir. Cevap B.
Bir yamuğun alanı 84 cm², yüksekliği 7 cm ve kısa paralel kenarının uzunluğu 9 cm'dir. Buna göre uzun paralel kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 15
Yamuğun alanı ((a + c)/2)·h formülüyle verilir. ((a + 9)/2)·7 = 84 → (a + 9)/2 = 12 yazılır. a + 9 = 24 → a = 15 cm bulunur. Alanı yüksekliğe bölüp elde edilen 12'yi doğrudan uzun kenar sanmak 12 (B şıkkı) hatasına yol açar; bu değer aslında orta tabandır. Cevap D.
ABCD paralelkenarında E noktası [BC] kenarı üzerinde olup |BE| = 2·|EC|'dir. F noktası ise [CD] kenarının orta noktasıdır. Paralelkenarın alanı 72 cm² olduğuna göre AEF üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: E — 24 cm²
Paralelkenarın alanı S = 72 cm² olsun; üç köşe üçgeni çıkarılarak AEF üçgeninin alanı bulunur. Alan(ABE) = (1/2)·|BE|·h = (1/2)·(2/3)·S = (1/3)·S = 24 cm² ve Alan(ADF) = (1/2)·(1/2)·S = (1/4)·S = 18 cm² olur. Alan(ECF) = (1/2)·(1/3)·(1/2)·S = (1/12)·S = 6 cm² bulunur. Alan(AEF) = 72 - (24 + 18 + 6) = 24 cm² elde edilir. Üçgenin alanını paralelkenarın dörtte biri sanıp 18 cm² (C şıkkı) demek, köşe üçgenlerinin eşit olmadığını göz ardı etmektir. Cevap E.
Dışbükey bir çokgende iç açıların ölçüleri toplamı, köşegen sayısının 26 katıdır. Buna göre bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B — 15
İç açıların toplamı (n - 2)·180, köşegen sayısı n·(n - 3)/2'dir. (n - 2)·180 = 26·n(n - 3)/2 = 13n(n - 3) yazılır. 180n - 360 = 13n² - 39n → 13n² - 219n + 360 = 0 denklemi elde edilir; kökleri n = 15 ve n = 24/13'tür. Kenar sayısı tam sayı olmak zorunda olduğundan n = 15 alınır. Denemeyle gidildiğinde n = 12 için toplam 1800°, köşegen sayısı 54 ve oran 100/3 çıkar; bu 26'ya eşit olmadığı hâlde 12 (A şıkkı) işaretlemek yaygın bir hatadır. Cevap B.
