Çokgenler ve Dörtgenler — Test 5

Doğru cevap: D — 96 cm²

C ve D köşelerinden [AB]'ye indirilen dikmelerin ayakları arasındaki uzaklık 12 cm, kalan iki parçanın toplamı 20 - 12 = 8 cm'dir. Yükseklik h ve parçalar x ile 8 - x olsun: 36 - x² = 100 - (8 - x)² yazılır; buradan 16x = 0 → x = 0 bulunur. Demek ki [AD] ⊥ [AB]'dir, yani h = 6 cm'dir (diğer parça 8 cm olup 8² + 6² = 10² sağlanır). Alan = ((20 + 12)/2)·6 = 96 cm² bulunur. Yalnızca dikdörtgen kısmı hesaba katıp 12·6 = 72 cm² (A şıkkı) demek, kalan dik üçgeni eklemeyi unutmaktır. Cevap D.

Doğru cevap: C — 54 cm²

Karenin alanı 144 cm²'dir; AEF üçgeni, kareden üç köşe üçgeni çıkarılarak bulunur. Alan(ABE) = (12·6)/2 = 36 cm² ve Alan(ADF) = (12·6)/2 = 36 cm² olur. Alan(ECF) = (6·6)/2 = 18 cm² bulunur. Alan(AEF) = 144 - (36 + 36 + 18) = 54 cm² elde edilir. Üçgenin alanını karenin yarısı sanıp 72 cm² (E şıkkı) demek, [EF] parçasının köşegen olmadığını göz ardı etmektir. Cevap C.

Doğru cevap: A — 120 cm²

Çevre 4a = 52 olduğundan bir kenar a = 13 cm'dir. Köşegenler birbirini dik ortaladığından, verilen köşegenin yarısı 5 cm ve diğer köşegenin yarısı √(169 - 25) = 12 cm olur. Diğer köşegen 24 cm'dir; alan = (10·24)/2 = 120 cm² bulunur. Alanı köşegenlerin çarpımı olarak alıp 10·24 = 240 cm² (E şıkkı) demek, ikiye bölmeyi unutmaktır. Cevap A.

Doğru cevap: E — 108

Düzgün beşgende bir iç açının ölçüsü (5 - 2)·180/5 = 108°'dir. ABC ikizkenar üçgeninde tepe açısı 108° olduğundan m(BAC) = 36° bulunur; BCD ikizkenar üçgeninde de m(DBC) = 36° olur. Buradan m(ABD) = 108° - 36° = 72° çıkar; ABF üçgeninde m(FAB) = 36° ve m(ABF) = 72° olduğundan m(AFB) = 180 - (36 + 72) = 72° elde edilir. m(AFD) ile m(AFB) bütünler açılar olduğundan m(AFD) = 180° - 72° = 108° bulunur. Sorulan açı yerine komşusu olan m(AFB) = 72°'yi seçmek 72 (C şıkkı) hatasına yol açar. Cevap E.

Doğru cevap: A — 1080

n kenarlı bir dışbükey çokgende iç açıların ölçüleri toplamı (n - 2)·180°'dir. Sekizgen için n = 8 alınır: (8 - 2)·180 = 6·180 yazılır. Toplam 1080° bulunur. Formülde (n - 2) yerine n kullanıp 8·180 = 1440° (C şıkkı) demek en sık yapılan hatadır. Cevap A.

Doğru cevap: B — 36

Alan a·b = 72 ve uzun kenar 12 cm olduğundan kısa kenar 72/12 = 6 cm bulunur. Çevre = 2·(a + b) formülüyle hesaplanır. Çevre = 2·(6 + 12) = 36 cm elde edilir. Komşu iki kenarın toplamı olan 18 (A şıkkı) doğrudan çevre sanılmamalıdır. Cevap B.

Doğru cevap: D — 25 cm²

Karenin alanı a² = 100 olduğundan bir kenarı a = 10 cm'dir. ABE üçgeninde [AB] taban alınırsa taban 10 cm, bu tabana ait yükseklik |BE| = 10/2 = 5 cm olur ([AB] ile [BC] diktir). Alan = (10·5)/2 = 25 cm² bulunur. Üçgeni karenin köşegeninin ayırdığı parça sanıp 100/2 = 50 cm² (E şıkkı) demek yaygın bir hatadır. Cevap D.

Doğru cevap: E — 9

Paralelkenarın alanı hangi kenar taban seçilirse seçilsin değişmez. [AB] tabanı için alan 12·6 = 72 cm² bulunur. [BC] tabanına ait yükseklik h ise 8·h = 72 → h = 9 cm elde edilir. Yükseklikleri kenarlarla doğru orantılı sanıp 6·(8/12) = 4 cm (A şıkkı) demek yanlıştır; yükseklikler kenarlarla ters orantılıdır. Cevap E.

Doğru cevap: B — 16

Köşegenler e ve f (e > f) olsun; alan (e·f)/2 = 96 → e·f = 192 yazılır. e - f = 4 olduğundan f = e - 4 yerine konur: e·(e - 4) = 192 → e² - 4e - 192 = 0. Denklemin pozitif kökü e = 16 cm'dir (f = 12 cm bulunur). Sorulan uzun köşegen yerine kısa köşegen olan 12 cm (A şıkkı) seçilmesi sık yapılan bir hatadır. Cevap B.

Doğru cevap: C — 30 cm²

Dikdörtgenin alanı 15·8 = 120 cm²'dir. Köşegenler birbirini ortaladığından dikdörtgen, alanları eşit dört üçgene ayrılır. Alan(AOB) = 120/4 = 30 cm² bulunur. Tek bir köşegenin ayırdığı parçayı düşünüp 120/2 = 60 cm² (E şıkkı) demek, ikinci köşegenin de bölme yaptığını atlamaktır. Cevap C.

Doğru cevap: A — 4 cm²

[DC] // [AB] olduğundan EDC ve EAB üçgenleri benzerdir; benzerlik oranı 4/16 = 1/4'tür. Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: Alan(EDC)/Alan(EAB) = 1/16. Alan(EDC) = k dersek Alan(EAB) = 16k olur; yamuğun alanı bu ikisinin farkıdır: 16k - k = 15k = 60. k = 4 cm² bulunur. Alanlar oranını benzerlik oranıyla aynı sanıp 4k - k = 3k = 60 ve k = 20 cm² (E şıkkı) demek sık yapılan bir hatadır. Cevap A.

Doğru cevap: A — 36 cm²

Yamuğun yüksekliği h ise ((12 + 8)/2)·h = 100 → h = 10 cm bulunur. AEB ve CED üçgenleri benzer olduğundan E'nin [AB] ve [DC] doğrularına uzaklıkları 12 : 8 = 3 : 2 oranındadır. Bu uzaklıklar toplamı 10 cm olduğundan E'nin [AB]'ye uzaklığı 10·(3/5) = 6 cm'dir. Alan(AEB) = (12·6)/2 = 36 cm² bulunur. Yamuk alanını taban oranıyla bölüştürüp 100·(12/20) = 60 cm² (E şıkkı) demek, üçgenin yüksekliğinin yamuğunkinden küçük olduğunu göz ardı etmektir. Cevap A.

Doğru cevap: A — 13

Köşegenler e ve f olsun; e + f = 34 ve (e·f)/2 = 120 → e·f = 240 yazılır. e ve f, t² - 34t + 240 = 0 denkleminin kökleridir: t = 24 ve t = 10 bulunur. Köşegenler birbirini dik ortaladığından kenar √(12² + 5²) = √169 = 13 cm olur. Köşegenlerin yarıları yerine kendilerini Pisagor'a koyup √(10² + 24²) = 26 cm (E şıkkı) demek sık yapılan bir hatadır. Cevap A.

Doğru cevap: C — 96 cm²

Orta noktaların birleştirilmesiyle oluşan dörtgenin kenarları, dikdörtgenin köşegenlerine paralel ve onların yarısı uzunluğundadır; bu dörtgen bir eşkenar dörtgendir. Köşelerde oluşan dört dik üçgenin alanları toplamı, dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Dikdörtgenin alanı 16·12 = 192 cm² olduğundan yeni dörtgenin alanı 192/2 = 96 cm² bulunur. Yeni dörtgenin alanını dikdörtgeninkiyle aynı sanıp 192 cm² (E şıkkı) demek, kesilen köşe üçgenlerini yok saymaktır. Cevap C.

Doğru cevap: E — 64 cm²

[DC] // [AB] olduğundan ECD ve EAB üçgenleri benzerdir; benzerlik oranı 6/18 = 1/3'tür. Benzer üçgenlerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesidir: Alan(ECD)/Alan(EAB) = 1/9. Alan(EAB) = 9·8 = 72 cm² bulunur. Yamuk, EAB üçgeninden ECD üçgeni çıkarılarak elde edilir: 72 - 8 = 64 cm². Alanlar oranını benzerlik oranıyla aynı sanıp Alan(EAB) = 3·8 = 24 cm² bulmak ve üstelik ECD üçgenini çıkarmayı unutup bu değeri yamuğun alanı sanmak 24 cm² (A şıkkı) hatasına götürür. Cevap E.