Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Çokgenler ve Dörtgenler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 7. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
3 kolay11 orta1 zor
Alanı 60 cm² olan bir dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğu 5 cm'dir. Buna göre köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: B — 13
Alan a·b = 60 ve kısa kenar 5 cm olduğundan uzun kenar 60/5 = 12 cm bulunur. Köşegen, kenarların oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür: d² = 5² + 12² = 169. d = 13 cm elde edilir. Kenarları toplayıp 5 + 12 = 17 (D şıkkı) demek, Pisagor bağıntısı yerine toplama yapmaktır. Cevap B.
Dışbükey bir çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegenlerin sayısı 7'dir. Buna göre bu çokgen kaç kenarlıdır?
Doğru cevap: C — 10
Bir köşeden, o köşenin kendisine ve iki komşu köşesine köşegen çizilemez. Bu nedenle bir köşeden çizilen köşegen sayısı n - 3'tür: n - 3 = 7 yazılır. n = 10 bulunur. Verilen 7 sayısını doğrudan kenar sayısı sanmak 7 (A şıkkı) hatasına yol açar. Cevap C.
Bir kenarının uzunluğu 9 cm ve bu kenara ait yüksekliğinin uzunluğu 6 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: D — 54 cm²
Eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan alanı taban ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Alan = 9·6 işlemi yapılır. Alan = 54 cm² bulunur. Eşkenar dörtgeni kare sanıp 9² = 81 cm² (E şıkkı) demek, kenarların eşit olmasının şeklin kare olmasını gerektirmediğini göz ardı etmektir. Cevap D.
Benzerlik oranı 2/5 olan iki benzer dörtgenden küçüğünün alanı 24 cm²'dir. Buna göre büyüğünün alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: E — 150 cm²
Benzer şekillerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Alan oranı (2/5)² = 4/25 olur; 24/A = 4/25 yazılır. A = 24·(25/4) = 150 cm² bulunur. Alanları doğrudan benzerlik oranıyla ölçekleyip 24·(5/2) = 60 cm² (A şıkkı) demek, karesini almayı unutmaktır. Cevap E.
Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları sırayla birleştirilerek elde edilen paralelkenarın alanı 35 cm²'dir. Buna göre bu dörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 70 cm²
Orta noktaların birleştirilmesiyle oluşan dörtgenin kenarları, köşegenlere paralel ve onların yarısı uzunluktadır (Varignon paralelkenarı). Köşelerde kesilen dört üçgenin alanları toplamı, dörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu nedenle orta nokta paralelkenarının alanı, dörtgenin alanının yarısıdır: dörtgenin alanı 2·35 = 70 cm² bulunur. Bu oranı 1/4 sanıp 4·35 = 140 cm² (E şıkkı) demek yaygın bir hatadır. Cevap A.
Dışbükey bir çokgenin köşegenlerinin sayısı 54'tür. Buna göre bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B — 12
Köşegen sayısı n·(n - 3)/2 formülüyle verilir: n·(n - 3)/2 = 54. n·(n - 3) = 108 elde edilir. n = 12 için 12·9 = 108 sağlandığından çokgen onikigendir. İkiye bölmeyi unutup n·(n - 3) = 54 çözmek n = 9 (A şıkkı) hatalı sonucunu verir. Cevap B.
[AB] // [DC] olan ABCD yamuğunda |AB| = 14 cm ve |DC| = 6 cm'dir. Köşegenler E noktasında kesişmektedir. AED üçgeninin alanı 21 cm² olduğuna göre AEB üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: C — 49 cm²
AEB ve CED üçgenleri benzer olduğundan |BE|/|ED| = |AB|/|DC| = 14/6 = 7/3'tür. AEB ve AED üçgenlerinin A köşesinden [BD] doğrusuna olan yükseklikleri ortaktır; alanları tabanlarla, yani |BE| ile |ED| ile orantılıdır. Alan(AEB)/21 = 7/3 → Alan(AEB) = 49 cm² bulunur. Oranı ters kurup 21·(3/7) = 9 cm² (A şıkkı) demek, uzun tabana bitişik üçgenin daha büyük olduğunu gözden kaçırmaktır. Cevap C.
Çevresi 48 cm olan bir düzgün altıgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: D — 96√3 cm²
Düzgün altıgende çevre 6a olduğundan 6a = 48 → a = 8 cm bulunur. Altıgen, kenar uzunluğu 8 cm olan altı eşkenar üçgene ayrılır; her birinin alanı (√3/4)·64 = 16√3 cm²'dir. Alan = 6·16√3 = 96√3 cm² olur. Altıgeni 6 yerine 3 eşkenar üçgene ayırdığını düşünmek 48√3 cm² (A şıkkı) hatasını verir. Cevap D.
Bir paralelkenarda komşu iki kenarın uzunlukları 12 cm ve 9 cm, bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü ise 150°'dir. Buna göre bu paralelkenarın alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: E — 54 cm²
Paralelkenarın alanı, komşu iki kenarın uzunlukları ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımıdır. Alan = 12·9·sin150° yazılır; sin150° = 1/2'dir. Alan = 108·(1/2) = 54 cm² bulunur. Üçgen alan formülüyle karıştırıp bir de 1/2 ile çarpmak 27 cm² (A şıkkı) hatasına yol açar. Cevap E.
Bir eşkenar dörtgenin bir kenarının uzunluğu 6 cm ve bir iç açısının ölçüsü 120°'dir. Buna göre bu eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 18√3 cm²
Eşkenar dörtgenin alanı, komşu iki kenar ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımıdır. Alan = 6·6·sin120° = 36·(√3/2) yazılır. Alan = 18√3 cm² bulunur. Açıyı 90° sanıp şekli kare gibi düşünmek 6·6 = 36 cm² (B şıkkı) hatasını verir. Cevap A.
Bir paralelkenarın çevresi 56 cm'dir. Uzun kenarının uzunluğu, kısa kenarının uzunluğundan 6 cm fazladır. Buna göre kısa kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: A — 11
Kısa kenarın uzunluğu a ise uzun kenar a + 6 olur; paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşittir. Çevre 2·(a + a + 6) = 56 denkleminden 2·(2a + 6) = 56, yani 4a + 12 = 56 ve 4a = 44 elde edilir. Buradan a = 11 cm bulunur; uzun kenar 17 cm olup çevre 2·(11 + 17) = 56 ile doğrulanır. Uzun kenar olan 17'nin işaretlenmesi, sorunun kısa kenarı sorduğunun atlanmasıdır. Cevap 11.
Bir yamuğun paralel kenarlarının uzunlukları 12 cm ve 20 cm, alanı 96 cm²'dir. Buna göre bu yamuğun yüksekliği kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 6
Yamuğun alanı, paralel kenarlar toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımıdır: (12 + 20) : 2 · h. (12 + 20) : 2 = 16 olduğundan 16·h = 96 denklemi kurulur. Buradan h = 6 cm bulunur. Paralel kenarlar toplamı 2'ye bölünmeden 32·h = 96 yazılırsa h = 3 gibi yanlış bir sonuç elde edilir. Cevap 6.
Bir eşkenar dörtgende köşegen uzunluklarının oranı 3/4 ve alanı 96 cm²'dir. Buna göre kısa köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: B — 12
Köşegen uzunlukları 3k ve 4k olsun; eşkenar dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısıdır. 3k · 4k : 2 = 6k² = 96 denkleminden k² = 16 ve k = 4 elde edilir. Kısa köşegen 3·4 = 12 cm, uzun köşegen 4·4 = 16 cm'dir; 12·16 : 2 = 96 eşitliği sonucu doğrular. Uzun köşegen olan 16'nın işaretlenmesi, sorunun kısa köşegeni sorduğunun karıştırılmasıdır. Cevap 12.
Bir dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu 9 cm, köşegeninin uzunluğu 15 cm'dir. Buna göre bu dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 108
Dikdörtgende köşegen, iki kenarla bir dik üçgen oluşturur. Diğer kenar b ise 9² + b² = 15², yani 81 + b² = 225 ve b² = 144 olur; buradan b = 12 cm'dir. Alan 9·12 = 108 cm² bulunur. Köşegen bir kenar sanılıp 9·15 = 135 denmesi sık yapılan bir hatadır; köşegen dikdörtgenin kenarı değildir. Cevap 108.
Bir dik yamukta paralel kenarların uzunlukları 10 cm ve 22 cm'dir. Yan kenarlardan biri paralel kenarlara dik olup uzunluğu 9 cm'dir. Buna göre diğer yan kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: B — 15
Kısa paralel kenarın uç noktasından uzun paralel kenara dik inilirse uzun kenar 10 cm ile 22 - 10 = 12 cm'lik iki parçaya ayrılır. Böylece dik kenarları 12 cm ve 9 cm olan bir dik üçgen oluşur; eğik yan kenar bu üçgenin hipotenüsüdür. Hipotenüs √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √225 = 15 cm bulunur. Yalnızca taban farkı olan 12'nin işaretlenmesi, dikey 9 cm'lik parçanın hesaba katılmamasıdır. Cevap 15.
