Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Bölme – Bölünebilme konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 7. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
1 kolay8 orta6 zor
Bir A doğal sayısının 4 ile bölümünden kalan 3, 6 ile bölümünden kalan 5'tir. Buna göre A sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: E — 11
Her iki bölmede de bölen ile kalan farkı 1'dir: 4 - 3 = 6 - 5 = 1. Bu durumda A + 1 sayısı hem 4'e hem 6'ya, dolayısıyla EKOK(4, 6) = 12'ye tam bölünür. A + 1 = 12k ise A = 12k - 1 = 12(k - 1) + 11 olur ve kalan 11'dir. Kalanlardan büyüğünü doğrudan yazan öğrenci C şıkkını işaretler. Cevap E.
Bir bölme işleminde bölen, bölümün 4 katıdır. Kalan 9 olduğuna göre bölünen en az kaç olabilir?
Doğru cevap: D — 45
Bölüm b ise bölen 4b'dir ve bölünen 4b · b + 9 = 4b^2 + 9 olur. Kalan bölenden küçük olmalıdır: 9 < 4b eşitsizliğinden b > 2,25 yani en küçük b değeri 3'tür. b = 3 için bölen 12, bölünen 4 · 9 + 9 = 45 bulunur. Kalan < bölen koşulunu gözden kaçırıp b = 2 alan öğrenci 8 · 2 + 9 = 25 bulur ve B şıkkını, b = 1 alan öğrenci ise 4 + 9 = 13 bulup A şıkkını işaretler. Cevap D.
5A2B dört basamaklı sayısı 45 ile tam bölünmektedir. Buna göre A + B toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: E — 11
45 = 9 · 5 olduğundan sayı hem 9 hem 5 ile bölünmelidir. 5 kuralı gereği B = 0 ya da B = 5'tir. 9 kuralı için rakamlar toplamı 5 + A + 2 + B = 7 + A + B sayısı 9'un katı olmalıdır. B = 0 için A = 2 (toplam 9), B = 5 için A = 6 (toplam 18) bulunur. Böylece A + B en çok 6 + 5 = 11 olur. B'yi yalnızca 0 alan öğrenci 2 + 0 = 2 bulup A şıkkını işaretler. Cevap E.
300 ile 700 arasındaki (300 ve 700 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesinin 7 ile bölümünden kalan 4'tür?
Doğru cevap: C — 57
Koşulu sağlayan en küçük sayı 305 = 7 · 43 + 4, en büyük sayı ise 697 = 7 · 99 + 4'tür. Bu sayılar 7'şer artarak ilerlediğinden adet (697 - 305) / 7 + 1 = 56 + 1 = 57'dir. Son terimi de saymayı unutan, yani yalnızca (697 - 305) / 7 işlemini yapan öğrenci B şıkkını işaretler. Cevap C.
1'den 300'e kadar olan (300 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesi ne 2 ne de 5 ile tam bölünür?
Doğru cevap: A — 120
2'nin katları 150, 5'in katları 60, hem 2 hem 5 ile bölünenler (10'un katları) 30 tanedir. İçlerinden en az biriyle bölünenler 150 + 60 - 30 = 180 sayıdır. Geriye kalan 300 - 180 = 120 sayı ise ne 2 ne de 5 ile bölünür. Tümleyeni almayı unutup bölünenlerin sayısını işaretleyen öğrenci C şıkkını, yalnızca tek sayıları sayan öğrenci B şıkkını seçer. Cevap A.
3^28 + 7^15 toplamının son rakamı kaçtır?
Doğru cevap: D — 4
3'ün kuvvetlerinin son rakamları 3, 9, 7, 1 biçiminde 4'lü devreder; 28 sayısı 4'ün tam katı olduğundan devrin son terimi alınır ve 3^28 sayısının son rakamı 1'dir. 7'nin kuvvetlerinde de devir 7, 9, 3, 1'dir; 15 = 4 · 3 + 3 olduğundan 7^15 sayısının son rakamı 3'tür. Toplamın son rakamı 1 + 3 = 4 olur. Her iki üste de devrin ilk terimini alan öğrenci 3 + 7 = 10 işleminden A şıkkına yönelir. Cevap D.
Bir manav elmalarını 6'şarlı kasalara yerleştirdiğinde 4 elma, 8'erli kasalara yerleştirdiğinde 6 elma artmaktadır. Elma sayısı 100 ile 130 arasında olduğuna göre kaç elma vardır?
Doğru cevap: C — 118
Her iki durumda da bölen ile kalan farkı 2'dir: 6 - 4 = 8 - 6 = 2. Bu nedenle elma sayısının 2 fazlası hem 6'ya hem 8'e, dolayısıyla EKOK(6, 8) = 24'e tam bölünür. Sayı 24k - 2 biçimindedir: 22, 46, 70, 94, 118, 142, ... Bu değerlerden 100 ile 130 arasında olanı 118'dir. Aralık koşulunu göz ardı edip listedeki bir önceki ya da bir sonraki terimi işaretleyen öğrenci A veya E şıkkını seçer. Cevap C.
Ardışık beş tam sayının toplamı her zaman aşağıdakilerden hangisine tam bölünür?
Doğru cevap: B — 5
Ardışık beş tam sayı n - 2, n - 1, n, n + 1, n + 2 biçiminde yazılırsa toplamları 5n olur; bu nedenle toplam her zaman 5'in katıdır. Toplamın çift olacağını varsayan öğrenci E şıkkını işaretler; oysa n tek iken 5n tektir ve 10 ile bölünmez. Cevap B.
180 sayısının pozitif tam bölenlerinden kaç tanesi tam kare değildir?
Doğru cevap: D — 14
180 = 2^2 · 3^2 · 5 olduğundan pozitif tam bölen sayısı (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18'dir. Bölenlerden tam kare olanlar 1, 4, 9 ve 36 olmak üzere 4 tanedir. İstenen sayı 18 - 4 = 14'tür. Soruyu olumsuz okumayıp tam kare olan bölenlerin sayısını işaretleyen öğrenci A şıkkını seçer. Cevap D.
1'den 1000'e kadar olan (1000 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesi 3, 4 ve 5 sayılarından en az biriyle tam bölünür?
Doğru cevap: A — 600
1000'e kadar 3'ün katları 333, 4'ün katları 250, 5'in katları 200 tanedir. İkişerli kesişimler 12'nin katları 83, 15'in katları 66, 20'nin katları 50; üçlü kesişim ise 60'ın katları 16 tanedir. İçerme-dışarma ilkesiyle 333 + 250 + 200 - 83 - 66 - 50 + 16 = 600 bulunur. Ortak katları çıkarmayı unutup 333 + 250 + 200 = 783 diyen öğrenci E şıkkını işaretler. Cevap A.
A doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan 7, B doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan 5'tir. Buna göre A^2 + B^2 toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 2
Kalanlarla çalışılabilir: A^2 için 7^2 = 49 ve 49 = 9 · 5 + 4 olduğundan kalan 4; B^2 için 5^2 = 25 ve 25 = 9 · 2 + 7 olduğundan kalan 7'dir. Toplamın kalanı 4 + 7 = 11 sayısının 9 ile bölümünden kalan, yani 2'dir. Önce kalanları toplayıp sonra karesini alan öğrenci (7 + 5)^2 = 144 işleminden 144 = 9 · 16 sonucuna varır ve A şıkkını işaretler. Cevap B.
10! = 1 · 2 · 3 · ... · 10 çarpımı 3^k ile tam bölünebiliyorsa k en çok kaç olabilir?
Doğru cevap: D — 4
Çarpımdaki 3'ün katları 3, 6 ve 9'dur. 3 sayısı bir tane, 6 = 2 · 3 sayısı bir tane, 9 = 3^2 sayısı ise iki tane 3 çarpanı verir. Toplam 1 + 1 + 2 = 4 olduğundan 10! sayısı 3^4 ile bölünür, 3^5 ile bölünmez. Yalnızca 3'ün katlarının adedini sayan öğrenci 9'un iki çarpan verdiğini gözden kaçırır ve C şıkkını işaretler. Cevap D.
İki basamaklı kaç doğal sayının 4 ile bölümünden kalanı, 6 ile bölümünden kalanına eşittir?
Doğru cevap: C — 32
Kalanlar eşit ve r ise sayı hem 4k + r hem 6m + r biçimindedir; buradan sayının r fazlası olan kısmı hem 4'e hem 6'ya bölünür, yani sayı 12t + r biçimindedir ve 4'e göre kalan alınabilmesi için r < 4 olmalıdır. Böylece uygun sayılar 12t, 12t + 1, 12t + 2, 12t + 3 biçimindedir. İki basamaklı aralıkta t = 1, 2, ..., 8 için dörder sayı bulunur: 8 · 4 = 32. r için yalnızca 0 ve 1 değerlerini uygun gören öğrenci her t için iki sayı sayar ve 8 · 2 = 16 sonucuyla A şıkkını işaretler. Cevap C.
1'den 100'e kadar olan (100 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesinin pozitif tam bölen sayısı tektir?
Doğru cevap: C — 10
Bölenler genelde ikişerli eşlenir; yalnızca tam kare sayılarda karekök kendisiyle eşleştiği için bölen sayısı tek olur. 1'den 100'e kadar tam kareler 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ve 100 olmak üzere 10 tanedir. Üst sınır olan 100'ü tam kare saymayıp dışarıda bırakan öğrenci B şıkkını işaretler. Cevap C.
372 sayısının 15 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: D — 12
15 · 24 = 360 olduğundan 372 = 15 · 24 + 12 yazılır ve 12 < 15 olduğu için kalan 12'dir. 15 = 3 · 5 olduğundan yalnızca 5 ile bölümden kalana bakan öğrenci 372 = 5 · 74 + 2 işleminden A şıkkını işaretler; oysa bileşik bir bölene göre kalan, çarpanların kalanlarından doğrudan okunamaz. Cevap D.
