Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Bölme – Bölünebilme konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
5 kolay4 orta6 zor
Bir bölme işleminde bölen 13, bölüm 8'dir. Kalan alabileceği en büyük değeri aldığında bölünen kaç olur?
Doğru cevap: C — 116
Kalan bölenden küçük olmak zorunda olduğundan en büyük kalan 13 - 1 = 12'dir. Bölme algoritmasına göre bölünen 13 · 8 + 12 = 104 + 12 = 116 olur. Kalanı bölene eşit alan öğrenci 13 · 8 + 13 = 117 bulup D şıkkını, kalanı hiç eklemeyen öğrenci ise A şıkkını işaretler. Cevap C.
Aşağıdaki sayılardan hangisi 4 ile tam bölünmez?
Doğru cevap: A — 1318
4 ile bölünebilmede son iki basamağa bakılır: 28, 44, 36 ve 20 sayılarının hepsi 4'ün katıdır. 1318 sayısında ise son iki basamak 18 olup 18 = 4 · 4 + 2 biçimindedir, yani 4'ün katı değildir. Yalnızca son rakamın çift olmasına bakan öğrenci bütün seçenekleri uygun görür ve rastgele bir seçim yapar; 4 kuralı için son İKİ basamak gereklidir. Cevap A.
İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 13 ile tam bölünür?
Doğru cevap: B — 7
13'ün iki basamaklı katları 13, 26, 39, 52, 65, 78 ve 91 olmak üzere 7 tanedir. Aynı sonuç 99 = 13 · 7 + 8 işleminden de görülür. Bölümü yukarı yuvarlayıp 99 / 13 oranını 8 kabul eden öğrenci C şıkkını işaretler. Cevap B.
Aşağıdaki sayılardan hangisi hem 3 hem de 5 ile tam bölünür?
Doğru cevap: C — 3405
5 ile bölünebilmek için son rakam 0 ya da 5 olmalıdır; bu koşulu 2450, 3405 ve 4520 sağlar. Bunların rakamları toplamları sırasıyla 11, 12 ve 11'dir; yalnızca 3405 sayısında toplam 3'ün katıdır. Dolayısıyla iki koşulu birlikte sağlayan sayı 3405'tir. Yalnızca rakamlar toplamına bakan öğrenci 1 + 2 + 3 + 6 = 12 hesabıyla A şıkkını işaretler; oysa bu sayı 5 ile bölünmez. Cevap C.
Ardışık iki tek doğal sayının toplamı her zaman aşağıdakilerden hangisine tam bölünür?
Doğru cevap: B — 4
Ardışık iki tek sayı 2k + 1 ve 2k + 3 biçiminde yazılırsa toplamları 4k + 4 = 4(k + 1) olur; bu nedenle toplam her zaman 4'ün katıdır. 4(k + 1) ifadesinin 8'in de katı olacağını düşünen öğrenci D şıkkını işaretler; oysa 1 + 3 = 4 sayısı 8 ile tam bölünmez. Cevap B.
Rakamlarının toplamı 20 olan üç basamaklı bir sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: C — 2
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir. Rakamlar toplamı 20 olduğundan 20 = 9 · 2 + 2 işleminden kalan 2 bulunur; bu sonuç sayının hangi üç basamaklı sayı olduğuna bağlı değildir. 20'yi 9'un katı sanan öğrenci ise sayının 9 ile tam bölündüğünü düşünüp kalanı 0 alır ve A şıkkına yönelir. Cevap C.
200 ile 300 arasındaki (200 ve 300 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesi hem 5 hem 7 ile bölündüğünde 3 kalanını verir?
Doğru cevap: A — 3
Sayının 3 eksiği hem 5'e hem 7'ye tam bölünür, yani EKOK(5, 7) = 35'in katıdır. Sayı 35k + 3 biçimindedir: 3, 38, 73, 108, 143, 178, 213, 248, 283, 318, ... Bu değerlerden 200 ile 300 arasında olanlar 213, 248 ve 283 olmak üzere 3 tanedir. EKOK yerine 5 + 7 = 12 ile ilerleyen öğrenci aralıkta çok daha fazla terim sayar. Cevap A.
Ardışık dört tam sayının çarpımı her zaman aşağıdakilerden hangisine tam bölünür?
Doğru cevap: E — 24
Ardışık dört tam sayının içinde mutlaka bir tanesi 4'ün, bir başkası 2'nin katıdır; ayrıca en az biri 3'ün katıdır. Böylece çarpım 4 · 2 · 3 = 24 ile her zaman bölünür. Dört sayının ikisinin çift olmasından hareketle çarpımın 16'nın katı olacağını düşünen öğrenci B şıkkını işaretler; oysa 1 · 2 · 3 · 4 = 24 sayısı 16 ile tam bölünmez. Cevap E.
Bir doğal sayının 6 ile bölümünden kalan 4, 10 ile bölümünden kalan 8'dir. Buna göre bu sayının 30 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: E — 28
Her iki bölmede de bölen ile kalan farkı 2'dir: 6 - 4 = 10 - 8 = 2. Bu durumda sayının 2 fazlası hem 6'ya hem 10'a, dolayısıyla EKOK(6, 10) = 30'a tam bölünür. Sayı 30k - 2 = 30(k - 1) + 28 biçiminde olduğundan kalan 28'dir. Kalanlardan büyüğünü doğrudan yazan öğrenci A şıkkını işaretler. Cevap E.
1'den 1000'e kadar olan (1000 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesi 6 ile bölündüğünde 2 kalanını verir ancak 4 ile tam bölünmez?
Doğru cevap: A — 84
6 ile bölündüğünde 2 kalanını veren sayılar 2, 8, 14, ..., 998 biçiminde 6'şar artar ve (998 - 2) / 6 + 1 = 167 tanedir. Bunlardan 4 ile tam bölünenler hem 6k + 2 hem 4'ün katı olan sayılardır; bu sayılar 12t + 8 biçiminde olup 8, 20, ..., 992 sıralamasıyla (992 - 8) / 12 + 1 = 83 tanedir. İstenen adet 167 - 83 = 84'tür. İkinci koşulu göz ardı eden öğrenci E gibi yalnızca birinci gruba dayanan bir değere yönelir. Cevap A.
3^2024 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 1
3'ün kuvvetlerinin 5 ile bölümünden kalanlar 3, 4, 2, 1 biçiminde dörtlü devreder; nitekim 3^4 = 81 = 5 · 16 + 1'dir. 2024 = 4 · 506 olduğundan 3^2024 = (3^4)^506 yazılır ve kalan 1^506 = 1 bulunur. Üssü doğrudan 5'e bölüp 2024 = 5 · 404 + 4 işlemindeki 4 kalanını cevap sanan öğrenci E şıkkına yönelir; devir üsse göre değil, tabanın kuvvetlerinin 5'e göre kalanlarına göre kurulur. Cevap B.
İki basamaklı kaç doğal sayı, kendi rakamlarının toplamına tam bölünür?
Doğru cevap: E — 23
Sayı 10a + b, rakamlar toplamı a + b'dir. Onluk basamağa göre tarama yapılırsa koşulu sağlayan sayılar 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84 ve 90 olmak üzere 23 tanedir. Yalnızca 10, 20, ..., 90 biçimindeki tam onlukları ve birkaç bariz örneği sayan öğrenci daha küçük değerlerden biri olan A şıkkına yönelir. Cevap E.
n bir pozitif tam sayı olmak üzere 25^n - 1 biçimindeki sayılar her zaman aşağıdakilerden hangisine tam bölünür?
Doğru cevap: D — 24
25 = 24 + 1 olduğundan 25^n sayısının 24 ile bölümünden kalan 1^n = 1'dir; buradan 25^n - 1 farkı her zaman 24'ün katıdır. n = 1 için 24, n = 2 için 624 = 24 · 26 sonuçları bunu doğrular. n = 2 durumunda çıkan 624 sayısının 26 ile de bölündüğünü görüp bunu genelleyen öğrenci E şıkkını işaretler; oysa n = 1 için 24 sayısı 26 ile bölünmez. Cevap D.
A doğal sayısının 8 ile bölümünden kalan 5, B doğal sayısının 8 ile bölümünden kalan 3'tür. Buna göre A^2 - B^2 farkının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: A — 0
Kalanlarla çalışılır: A^2 için 5^2 = 25 ve 25 = 8 · 3 + 1 olduğundan kalan 1; B^2 için 3^2 = 9 ve 9 = 8 + 1 olduğundan kalan yine 1'dir. Fark için 1 - 1 = 0 bulunur, yani A^2 - B^2 farkı 8 ile tam bölünür. Kalanların farkını alıp 5 - 3 = 2 sonucunu karesiz bırakan öğrenci C şıkkını, farkın karesini alıp (5 - 3)^2 = 4 diyen öğrenci D şıkkını işaretler. Cevap A.
A doğal sayısının 7 ile bölümünden kalan 4'tür. Buna göre A^3 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: A — 1
Kalanlarla çalışılır: 4^3 = 64 ve 64 = 7 · 9 + 1 olduğundan A^3 sayısının 7 ile bölümünden kalan 1'dir. Küp alınınca kalanın değişmeyeceğini düşünen öğrenci D şıkkını, kalanı 3 ile çarpıp 12'yi indirgeyen öğrenci ise 12 = 7 + 5 hesabıyla yanlış bir yola sapar. Cevap A.
