Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Asal Çarpanlar, OBEB – OKEK konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 122 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 2. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
0 kolay9 orta6 zor
a = 2^4 · 3^2 · 5 ve b = 2^2 · 3^3 · 5^2 olduğuna göre EBOB(a, b) kaçtır?
Doğru cevap: D — 180
EBOB'da ortak asal çarpanların küçük üsleri alınır: 2 için min(4, 2) = 2, 3 için min(2, 3) = 2, 5 için min(1, 2) = 1. EBOB(a, b) = 2^2 · 3^2 · 5 = 180 bulunur. Üslerin büyükleri alınırsa EKOK = 10800 bulunur ve E şıkkı işaretlenir.
a = 2^4 · 3^2 · 5 ve b = 2^2 · 3^3 · 5^2 olduğuna göre EKOK(a, b) kaçtır?
Doğru cevap: E — 10800
EKOK'ta tüm asal çarpanların büyük üsleri alınır: 2 için max(4, 2) = 4, 3 için max(2, 3) = 3, 5 için max(1, 2) = 2. EKOK(a, b) = 2^4 · 3^3 · 5^2 = 10800 bulunur. Üslerin küçükleri alınırsa EBOB = 180 bulunur ve A şıkkı işaretlenir. 5'in üssünde 2 yerine 1 alınırsa 2^4 · 3^3 · 5 = 2160 bulunur ve B şıkkı işaretlenir.
Bir terminalden üç otobüs firması sırasıyla 15, 18 ve 24 dakikada bir sefer düzenlemektedir. Saat 08.00'de üç firmanın da otobüsü birlikte kalktığına göre üç otobüs bir sonraki sefer saat kaçta birlikte kalkar?
Doğru cevap: C — 14.00
Birlikte kalkış aralığı EKOK'tur. 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 3^2, 24 = 2^3 · 3 olduğundan EKOK(15, 18, 24) = 2^3 · 3^2 · 5 = 360 dakika = 6 saattir. 08.00 + 6 saat = 14.00 bulunur. EKOK 360 yerine 240 dakika hesaplanırsa A şıkkı işaretlenir.
Uzun kenarı 84 m, kısa kenarı 60 m olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin çevresine, köşelerde birer tane bulunacak ve aralıklar eşit ve en uzun olacak biçimde ağaç dikilecektir. Buna göre kaç ağaç dikilir?
Doğru cevap: E — 24 ağaç
Aralık, kenarları tam bölmelidir; en uzun aralık EBOB'dur. 60 = 2^2 · 3 · 5, 84 = 2^2 · 3 · 7 olduğundan EBOB(60, 84) = 2^2 · 3 = 12 m'dir. Çevre 2 · (60 + 84) = 288 m olduğundan ağaç sayısı 288 / 12 = 24 bulunur. Ağaçlar arasındaki uzaklık olan 12 m, ağaç sayısı sanılırsa B şıkkı işaretlenir. Dört köşedeki ağaçlar sayıma katılmazsa 20 bulunur ve D şıkkı işaretlenir.
Ayrıtları 24 cm, 36 cm ve 60 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir tahta blok, hiç artmayacak biçimde özdeş küplere ayrılacaktır. Küpler mümkün olan en büyük boyutta olduğuna göre kaç küp elde edilir?
Doğru cevap: E — 30 küp
Küpün ayrıtı üç ölçüyü de tam bölmelidir; en büyüğü EBOB'dur. 24 = 2^3 · 3, 36 = 2^2 · 3^2, 60 = 2^2 · 3 · 5 olduğundan EBOB = 2^2 · 3 = 12 cm'dir. Küp sayısı 2 · 3 · 5 = 30 olur. Küpün ayrıt uzunluğu olan 12 cm, küp sayısı sanılırsa B şıkkı işaretlenir. Ayrıt başına düşen küp sayıları çarpılacak yerde toplanırsa 2 + 3 + 5 = 10 bulunur ve A şıkkı seçilir.
Bir x doğal sayısı için EBOB(x, 30) = 6 ve EKOK(x, 30) = 90'dır. Buna göre x kaçtır?
Doğru cevap: C — 18
EBOB · EKOK = x · 30 bağıntısı yazılır: 6 · 90 = 540 = x · 30. Buradan x = 18 bulunur. Kontrol: 18 = 2 · 3^2, 30 = 2 · 3 · 5; EBOB(18, 30) = 6, EKOK(18, 30) = 90. Verilen 30 sayısı cevap sanılırsa D şıkkı işaretlenir.
5 ve 7 ile bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük üç basamaklı doğal sayı kaçtır?
Doğru cevap: D — 107
Sayıdan 2 çıkarılırsa 5 ve 7'ye tam bölünür. 5 ve 7 asal olduğundan EKOK(5, 7) = 35'tir. Sayılar 35k + 2 biçimindedir: 2, 37, 72, 107, ... Üç basamaklı en küçüğü k = 3 için 107 bulunur. İlk uygun sayı olan 37 alınıp üç basamaklı olma koşulu gözden kaçırılırsa A şıkkı işaretlenir. EKOK'un katı olan 105 yazılıp 2 kalanı eklenmezse B şıkkı seçilir.
Oranı 3/5 olan iki doğal sayının EBOB'u 14'tür. Buna göre bu iki sayının EKOK'u kaçtır?
Doğru cevap: E — 210
3 ile 5 aralarında asal olduğundan sayılar 3 · 14 = 42 ve 5 · 14 = 70'tir. EBOB · EKOK = a · b bağıntısından 14 · EKOK = 42 · 70 = 2940 yazılır; EKOK = 210 bulunur. Verilen EBOB değeri olan 14 cevap sanılırsa A şıkkı işaretlenir. Sayıların kendisi (42 ve 70) toplanırsa 112 bulunur ve C şıkkı seçilir.
Aralarında asal olan iki basamaklı iki doğal sayının EKOK'u 187'dir. Buna göre bu iki sayının toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B — 28
Aralarında asal sayılarda EBOB = 1 olduğundan EBOB · EKOK = a · b bağıntısı a · b = 187 verir. 187 = 11 · 17 biçiminde asal çarpanlarına ayrılır. Çarpan ikilileri 1 · 187 ve 11 · 17'dir; ikisi de iki basamaklı olan tek ikili 11 ve 17'dir. Toplam 11 + 17 = 28 bulunur. EKOK değeri olan 187 doğrudan cevap sanılırsa E şıkkı işaretlenir. Toplam yerine fark alınırsa 17 - 11 = 6 bulunur ve A şıkkı işaretlenir.
Bir doğal sayı 7 ile bölündüğünde 5, 8 ile bölündüğünde 6, 9 ile bölündüğünde 7 kalanını vermektedir. Bu koşulu sağlayan en küçük pozitif doğal sayı kaçtır?
Doğru cevap: A — 502
Her bölmede bölen ile kalan farkı aynıdır: 7 - 5 = 8 - 6 = 9 - 7 = 2. Bu durumda sayının 2 fazlası 7, 8 ve 9'a tam bölünür. 7 = 7, 8 = 2^3, 9 = 3^2 olduğundan EKOK(7, 8, 9) = 2^3 · 3^2 · 7 = 504'tür. Sayı 504k - 2 biçimindedir; en küçük pozitif değeri k = 1 için 502 olur. Sayının kendisi yerine EKOK = 504 yazılırsa B şıkkı işaretlenir. 2 çıkarılacak yerde 2 eklenirse C şıkkı seçilir.
a = 2^3 · 3^x · 5 ve b = 2^y · 3^2 · 5^2 sayıları için EBOB(a, b) = 2^2 · 3^2 · 5 ve EKOK(a, b) = 2^3 · 3^4 · 5^2'dir. Buna göre x + y toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C — 6
2'nin üssü için min(3, y) = 2 ve max(3, y) = 3 olmalıdır; buradan y = 2 bulunur. 3'ün üssü için min(x, 2) = 2 ve max(x, 2) = 4 olmalıdır; buradan x = 4 bulunur. 5'in üsleri min(1, 2) = 1 ve max(1, 2) = 2 ile uyumludur. Sonuç x + y = 6'dır. Yalnız x değeri bulunup toplama unutulursa B şıkkı işaretlenir. x + y yerine x · y hesaplanırsa D şıkkı seçilir.
4 ile bölündüğünde 3, 5 ile bölündüğünde 4, 6 ile bölündüğünde 5 kalanını veren ve 7 ile kalansız bölünebilen en küçük pozitif doğal sayı kaçtır?
Doğru cevap: D — 119
Her bölmede bölen ile kalan farkı 1'dir, dolayısıyla sayının 1 fazlası 4, 5 ve 6'ya tam bölünür. 4 = 2^2, 5 = 5, 6 = 2 · 3 olduğundan EKOK(4, 5, 6) = 2^2 · 3 · 5 = 60'tır. Sayı 60k - 1 biçimindedir: 59, 119, 179, ... Bunlardan 7'ye tam bölünen ilki 119'dur (119 = 7 · 17). 7 ile bölünme koşulu göz ardı edilip ilk aday olan 59 alınırsa A şıkkı işaretlenir. Yalnız EKOK = 60 yazılırsa B şıkkı seçilir.
EBOB'u 12, toplamı 84 olan kaç farklı (a, b) doğal sayı ikilisi yazılabilir? (a < b alınacaktır.)
Doğru cevap: A — 3 ikili
EBOB(a, b) = 12 olduğundan a = 12m, b = 12n ve EBOB(m, n) = 1 yazılır. a + b = 12(m + n) = 84 olduğundan m + n = 7'dir. m < n koşuluyla (m, n) ikilileri (1, 6), (2, 5), (3, 4) olup üçünde de EBOB(m, n) = 1'dir. Buna göre 3 farklı ikili vardır: (12, 72), (24, 60), (36, 48). m + n = 7 eşitliğindeki 7 değeri doğrudan cevap sanılırsa D şıkkı işaretlenir. Sıra gözetilerek (a, b) ve (b, a) ayrı sayılırsa C şıkkı bulunur.
Bir fabrikada üç zil sırasıyla 18, 24 ve 30 saniyede bir çalmaktadır. Saat 09.00'da üçü birlikte çaldığına göre 09.00 ile 12.00 arasında (09.00 hariç) kaç kez birlikte çalarlar?
Doğru cevap: A — 30 kez
18 = 2 · 3^2, 24 = 2^3 · 3, 30 = 2 · 3 · 5'dur. EKOK(18, 24, 30) = 2^3 · 3^2 · 5 = 360 saniye = 6 dakikadır. 09.00 - 12.00 arası 180 dakikadır; 180 / 6 = 30 kez birlikte çalarlar (09.00 sayılmaz). Birlikte çalma aralığı olan 360 saniye, çalma sayısı sanılırsa E şıkkı işaretlenir. 09.00'daki ilk çalış da sayıya katılırsa B şıkkı bulunur.
Boyutları 12 cm ve 18 cm olan özdeş dikdörtgen kartonlar, üst üste binmeden ve boşluk kalmadan yan yana dizilerek bir kare oluşturulacaktır. Oluşturulabilecek en küçük kare için kaç karton gerekir?
Doğru cevap: B — 6 karton
Karenin kenarı hem 12'nin hem 18'in katı olmalıdır; en küçüğü EKOK'tur. 12 = 2^2·3, 18 = 2·3^2 olduğundan EKOK(12, 18) = 2^2·3^2 = 36 cm'dir. Yatayda 36 / 12 = 3, dikeyde 36 / 18 = 2 karton dizilir; toplam 3·2 = 6 karton gerekir. Karenin kenar uzunluğu olan 36 cm, karton sayısı sanılırsa E şıkkı işaretlenir. Yatay ve dikey karton sayıları çarpılacak yerde toplanırsa 3 + 2 = 5 bulunur ve A şıkkı işaretlenir.
