Asal Çarpanlar, OBEB – OKEK — Test 6

Doğru cevap: B — 1084

Sayının 4 eksiği 9, 12 ve 15'e tam bölünür, yani EKOK(9, 12, 15) = 180'in katıdır. Sayı 180k + 4 biçimindedir. 1000 / 180 oranı 5'ten büyük olduğundan k = 6 alınır: 180 · 6 + 4 = 1080 + 4 = 1084 bulunur. Dört basamaklı en küçük sayı olan 1000'e doğrudan 4 ekleyen öğrenci A şıkkını işaretler; oysa 1000 sayısı 180'in katı değildir. Cevap B.

Doğru cevap: B — 245

Kitap sayısının 5 eksiği 12, 15 ve 20'ye tam bölünür, yani EKOK(12, 15, 20) = 60'ın katıdır. Sayı 60k + 5 biçimindedir: 65, 125, 185, 245, 305, ... 300'den küçük en büyük değer 245'tir. 300'den az olma koşulunu gözden kaçıran öğrenci D şıkkını, bir önceki terimde duran öğrenci A şıkkını işaretler. Cevap B.

Doğru cevap: D — 18144

EKOK'ta görülen tüm asal çarpanların en büyük üsleri alınır: 2 için max(5, 3) = 5, 3 için max(2, 4) = 4 ve yalnızca a sayısında bulunan 7 çarpanı da alınır. Buradan EKOK = 2^5 · 3^4 · 7 = 32 · 81 · 7 = 18144 bulunur. 2'nin üssünü 4 alan öğrenci 9072 sonucuna ulaşıp C şıkkını işaretler. Cevap D.

Doğru cevap: D — 75

Üç sayı asal çarpanlarına ayrılır: 150 = 2 · 3 · 5^2, 225 = 3^2 · 5^2 ve 375 = 3 · 5^3'tür. Üçünde de bulunan asal çarpanlar 3 ve 5'tir; küçük üsler alınırsa 3 · 5^2 = 75 bulunur. 5'in üssünü 3 alan öğrenci 3 · 125 hesabına kayar; yalnızca 5^2 = 25 yazıp 3 çarpanını unutan öğrenci ise B şıkkını işaretler. Cevap D.

Doğru cevap: C — 5

İki otobüsün birlikte kalkma aralığı EKOK(24, 36) = 72 dakikadır. 09.00 ile 15.00 arası 6 saat, yani 360 dakikadır ve 360 / 72 = 5 olduğundan bu aralıkta 5 kez birlikte kalkarlar (10.12, 11.24, 12.36, 13.48 ve 15.00). Başlangıç saati olan 09.00'ı da sayıma katan öğrenci D şıkkını işaretler; oysa soruda 09.00 hariç tutulmuştur. Cevap C.

Doğru cevap: A — 30 kez

18 = 2 · 3^2, 24 = 2^3 · 3, 30 = 2 · 3 · 5'dur. EKOK(18, 24, 30) = 2^3 · 3^2 · 5 = 360 saniye = 6 dakikadır. 09.00 - 12.00 arası 180 dakikadır; 180 / 6 = 30 kez birlikte çalarlar (09.00 sayılmaz). Birlikte çalma aralığı olan 360 saniye, çalma sayısı sanılırsa E şıkkı işaretlenir. 09.00'daki ilk çalış da sayıya katılırsa B şıkkı bulunur.

Doğru cevap: A — 10 kez

40 = 2^3 · 5, 60 = 2^2 · 3 · 5, 90 = 2 · 3^2 · 5'dır. EKOK(40, 60, 90) = 2^3 · 3^2 · 5 = 360 saniye = 6 dakikadır. 10.00 - 11.00 arası 60 dakikadır; 60 / 6 = 10 kez birlikte yanarlar (10.00 sayılmaz). Birlikte yanma aralığı olan 360 saniye, yanma sayısı sanılırsa E şıkkı işaretlenir. 10.00'daki ilk yanış da sayıya katılırsa B şıkkı bulunur.

Doğru cevap: B — 14

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır: 56 = 2^3 · 7 ve 98 = 2 · 7^2'dir. EBOB alınırken ortak asal çarpanların küçük üsleri çarpılır: 2^1 · 7^1 = 14 bulunur. Ortak çarpanların büyük üslerini alan öğrenci 2^3 · 7^2 hesabına yönelerek EKOK'u bulur; yalnızca 7'yi yazan öğrenci ise ortak çarpan olan 2'yi unutup A şıkkını işaretler. Cevap B.

Doğru cevap: C — 180

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır: 9 = 3^2, 12 = 2^2 · 3, 15 = 3 · 5'tir. EKOK alınırken görülen tüm asal çarpanların en büyük üsleri çarpılır: 2^2 · 3^2 · 5 = 4 · 9 · 5 = 180 bulunur. Üç sayıyı doğrudan çarpıp 9 · 12 · 15 = 1620 diyen ya da 3'ün üssünü fazladan alan öğrenci E şıkkı gibi gereğinden büyük bir değere yönelir. Cevap C.

Doğru cevap: A — 2 · 3 · 5^2 · 7

1050 sayısı sırayla asal sayılara bölünür: 1050 / 2 = 525, 525 / 3 = 175, 175 / 5 = 35, 35 / 5 = 7 ve 7 / 7 = 1'dir. Buna göre 1050 = 2 · 3 · 5^2 · 7 yazılır. 5'e iki kez bölündüğünü fark etmeyip üssü 3'e veren öğrenci C gibi çarpımı 1050'den farklı olan bir şıkkı işaretler. Cevap A.

Doğru cevap: C — 6

İki sayının ortak bölenleri, EBOB'larının bölenleridir. 56 = 2^3 · 7 ve 84 = 2^2 · 3 · 7 olduğundan EBOB(56, 84) = 2^2 · 7 = 28'dir. 28 = 2^2 · 7 sayısının pozitif tam bölen sayısı (2 + 1)(1 + 1) = 6'dır; bu bölenler 1, 2, 4, 7, 14 ve 28'dir. 56'nın bölen sayısı olan 8'i yazan öğrenci D şıkkını işaretler; oysa ortak bölenler EBOB üzerinden sayılır. Cevap C.

Doğru cevap: A — 15

Her iki çıtadan da artan olmayacağı için parça uzunluğu hem 45'i hem 60'ı tam bölmelidir; en uzun parça için EBOB alınır. 45 = 3^2 · 5 ve 60 = 2^2 · 3 · 5 olduğundan EBOB(45, 60) = 3 · 5 = 15 cm'dir. İki uzunluğu toplayıp 105 üzerinden işlem yapan öğrenci D şıkkını, EBOB yerine EKOK alan öğrenci E şıkkını işaretler. Cevap A.

Doğru cevap: D — 36

Gemilerin yeniden aynı gün yola çıkması için geçen süre hem 12'nin hem 18'in katı olmalıdır; en azı EKOK'tur. 12 = 2^2 · 3 ve 18 = 2 · 3^2 olduğundan EKOK(12, 18) = 2^2 · 3^2 = 36 gün bulunur. EBOB alan öğrenci A şıkkını, iki sayıyı doğrudan çarpan öğrenci 12 · 18 = 216 işleminden E şıkkını işaretler. Cevap D.

Doğru cevap: C — 33750

İki doğal sayı için EBOB · EKOK = a · b bağıntısı geçerlidir. Buna göre istenen çarpım doğrudan 150 · 225 = 33750'dir. (Denetlemek için: EBOB(150, 225) = 75, EKOK(150, 225) = 450 ve 75 · 450 = 33750'dir.) Bağıntıyı bilmeyip sayılardan birini iki kez kullanan öğrenci 150 · 150 = 22500 işlemiyle B şıkkına yönelir. Cevap C.

Doğru cevap: A — 14 ve 21

Aralarında asal olmak, EBOB'un 1 olması demektir. EBOB(8, 15) = 1, EBOB(9, 16) = 1, EBOB(12, 25) = 1 ve EBOB(20, 27) = 1'dir. 14 = 2 · 7 ile 21 = 3 · 7 sayılarının ortak çarpanı 7 olduğundan EBOB(14, 21) = 7'dir, yani bu çift aralarında asal değildir. İki sayının ikisinin birden asal olmasını arayan öğrenci C gibi bileşik sayılardan oluşan bir çifti yanlışlıkla eler; oysa 9 ile 16 aralarında asaldır. Cevap A.