Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Asal Çarpanlar, OBEB – OKEK konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 122 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 7. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
0 kolay11 orta4 zor
İki doğal sayının EBOB'u 12, EKOK'u 72'dir. Bu sayıların toplamı 60 olduğuna göre büyük sayı kaçtır?
Doğru cevap: E — 36
Sayılar 12a ve 12b (a ile b aralarında asal) biçiminde yazılır. EKOK 12ab = 72 olduğundan ab = 6 ve toplam 12(a + b) = 60 olduğundan a + b = 5 bulunur. Buradan a = 2, b = 3 gelir ve sayılar 24 ile 36'dır; büyük olan 36'dır. Sorunun küçük sayıyı istediğini sanan öğrenci C şıkkını işaretler. Cevap E.
İki doğal sayının EBOB'u 8, EKOK'u 96'dır. Buna göre bu iki sayının çarpımı kaçtır?
Doğru cevap: D — 768
İki doğal sayı için a · b = EBOB · EKOK bağıntısı kullanılır: a · b = 8 · 96 = 768 bulunur. (Örneğin 24 ile 32 sayıları bu koşulu sağlar: EBOB 8, EKOK 96 ve çarpım 768'dir.) EBOB ile EKOK'u çarpmak yerine toplayan öğrenci 8 + 96 = 104 sonucuna ulaşır ve şıklarda bulamayınca yakın gördüğü A şıkkına yönelir. Cevap D.
Bir kesir sadeleştirildiğinde 4/7 elde edilmektedir. Kesrin payı ile paydasının toplamı 143 olduğuna göre kesrin payı kaçtır?
Doğru cevap: E — 52
Kesir 4k / 7k biçiminde yazılır (k, pay ile paydanın EBOB'udur). Pay ile paydanın toplamı 4k + 7k = 11k = 143 olduğundan k = 13 bulunur. Buradan pay 4 · 13 = 52, payda ise 7 · 13 = 91'dir. Sadeleştirme çarpanı olan k değerini pay sanan öğrenci B şıkkını işaretler. Cevap E.
Bir okuldaki 84 kız ve 126 erkek öğrenci, her grupta yalnızca kızlar ya da yalnızca erkekler bulunacak ve tüm grupların mevcudu eşit olacak biçimde gruplara ayrılacaktır. Buna göre en az kaç grup oluşur?
Doğru cevap: B — 5
Grup sayısının en az olması için grup mevcudu en büyük seçilmelidir; bu da EBOB'dur. 84 = 2^2 · 3 · 7 ve 126 = 2 · 3^2 · 7 olduğundan EBOB(84, 126) = 2 · 3 · 7 = 42'dir. Kızlar 84 / 42 = 2, erkekler 126 / 42 = 3 gruba ayrılır ve toplam 2 + 3 = 5 grup olur. Yalnızca bir cinsiyetin grup sayısını yazan öğrenci A şıkkını işaretler. Cevap B.
a ve b doğal sayıları için EBOB(a, b) = 21 ve a = 63'tür. b sayısı 100'den küçük olduğuna göre b en çok kaç olabilir?
Doğru cevap: E — 84
EBOB 21 olduğuna göre b sayısı 21'in katı olmalıdır: 21, 42, 63, 84 değerleri 100'den küçüktür. Bunlardan b = 63 alınırsa EBOB(63, 63) = 63 olur ve koşul bozulur. Kalan adaylar arasında en büyüğü 84'tür ve gerçekten 63 = 21 · 3 ile 84 = 21 · 4 sayılarında 3 ile 4 aralarında asal olduğundan EBOB(63, 84) = 21'dir. b'nin a'yı aşamayacağını sanan öğrenci C şıkkını işaretler; oysa EBOB koşulu b'nin a'dan büyük olmasını engellemez. Cevap E.
EBOB(48, 72, 180) kaçtır?
Doğru cevap: D — 12
Üç sayı asal çarpanlarına ayrılır: 48 = 2^4 · 3, 72 = 2^3 · 3^2 ve 180 = 2^2 · 3^2 · 5'tir. Üçünde de bulunan asal çarpanlar 2 ve 3'tür; en küçük üsler alınırsa 2^2 · 3 = 12 bulunur. Yalnızca ilk iki sayıya bakıp EBOB(48, 72) = 24 diyen öğrenci E şıkkını işaretler; oysa 180 sayısı 2^2 çarpanını sınırlar. Cevap D.
Oranı 5/6 olan iki doğal sayının EKOK'u 120'dir. Buna göre bu sayılardan küçük olanı kaçtır?
Doğru cevap: B — 20
Sayılar 5k ve 6k biçiminde yazılır; 5 ile 6 aralarında asal olduğundan EKOK 30k olur. 30k = 120 eşitliğinden k = 4 bulunur ve sayılar 20 ile 24'tür. Küçük olan 20'dir. Soruda büyük sayının istendiğini sanan öğrenci C şıkkını, k değerini doğrudan sayı sanan öğrenci ise çok küçük bir değere yönelir. Cevap B.
1000'den küçük kaç tane pozitif doğal sayı hem 24'ün hem de 36'nın katıdır?
Doğru cevap: C — 13
Bir sayının hem 24'ün hem 36'nın katı olması, EKOK(24, 36) = 72'nin katı olması demektir. 999 = 72 · 13 + 63 olduğundan 1000'den küçük 72'nin katları 72, 144, ..., 936 biçiminde 13 tanedir. EKOK yerine EBOB olan 12'yi kullanan öğrenci 999 / 12 hesabından çok daha büyük bir sayıya, 36'nın katlarını sayan öğrenci ise E şıkkına yönelir. Cevap C.
EBOB(x, 24) = 8 koşulunu sağlayan kaç tane iki basamaklı x doğal sayısı vardır?
Doğru cevap: A — 7
EBOB'un 8 olması için x sayısı 8'in katı olmalı, ancak x ile 24'ün ortak çarpanı 3'ü içermemelidir; yani x = 8m biçiminde ve m 3'ün katı olmamalıdır. İki basamaklı 8'in katları 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ve 96'dır. Bunlardan 24, 48, 72 ve 96 sayıları aynı zamanda 3'ün katı olduğundan EBOB'u 24 verir ve elenir. Geriye 16, 32, 40, 56, 64, 80, 88 olmak üzere 7 sayı kalır. 3 koşulunu gözden kaçırıp tüm iki basamaklı 8 katlarını sayan öğrenci daha büyük bir değere, sadece 96'yı eleyen öğrenci ise D şıkkına yönelir. Cevap A.
Bir çiftçi 60 kg, 84 kg ve 132 kg gelen üç ürünü, ürünleri birbirine karıştırmadan ve hiç artmayacak biçimde eşit ağırlıkta torbalara dolduracaktır. Buna göre en az kaç torba gerekir?
Doğru cevap: C — 23
Torba sayısının en az olması için torba ağırlığı en büyük seçilmelidir; bu da EBOB'dur. 60 = 2^2 · 3 · 5, 84 = 2^2 · 3 · 7 ve 132 = 2^2 · 3 · 11 olduğundan EBOB = 2^2 · 3 = 12 kg'dır. Torba sayısı 60 / 12 + 84 / 12 + 132 / 12 = 5 + 7 + 11 = 23 olur. Torba ağırlığı olan 12'yi cevap sanan öğrenci A şıkkını işaretler. Cevap C.
Boyutları 6 cm, 9 cm ve 15 cm olan özdeş dikdörtgenler prizması biçimindeki tuğlalar, aralarında boşluk kalmayacak biçimde dizilerek bir küp oluşturulacaktır. Oluşturulabilecek en küçük küpün bir ayrıtı kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 90
Küpün ayrıtı, tuğlanın üç boyutunun da katı olmalıdır; en küçük küp için EKOK alınır. 6 = 2 · 3, 9 = 3^2 ve 15 = 3 · 5 olduğundan EKOK(6, 9, 15) = 2 · 3^2 · 5 = 90 cm bulunur. Yalnızca iki boyutu dikkate alıp EKOK(9, 15) = 45 diyen öğrenci C şıkkını, en uzun ayrıtı yeterli sanan öğrenci A şıkkını işaretler. Cevap E.
İki basamaklı a ve b doğal sayıları için EBOB(a, b) = 12 ve EKOK(a, b) = 180'dir. Buna göre a + b toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A — 96
Sayılar 12m ve 12n (m ile n aralarında asal) biçimindedir. EKOK 12mn = 180 olduğundan mn = 15 bulunur. Uygun ikililer (1, 15) ve (3, 5)'tir. (1, 15) için sayılar 12 ve 180 olur; 180 iki basamaklı olmadığından elenir. (3, 5) için sayılar 36 ile 60'tır ve gerçekten EBOB'ları 12, EKOK'ları 180'dir. Toplam 36 + 60 = 96 bulunur. EBOB ile EKOK'u toplayıp 12 + 180 = 192 diyen öğrenci E şıkkını işaretler. Cevap A.
a, b ve c pozitif tam sayıları için EBOB(a, b) = 12 ve EBOB(b, c) = 18'dir. Buna göre EBOB(a, c) en az kaç olabilir?
Doğru cevap: D — 6
EBOB(a, b) = 12 olduğundan a sayısı 12'nin, dolayısıyla 6'nın katıdır. EBOB(b, c) = 18 olduğundan c sayısı 18'in, dolayısıyla yine 6'nın katıdır. Her ikisi de 6'nın katı olduğuna göre EBOB(a, c) en az 6 olabilir. Bu değere ulaşıldığını gösteren bir örnek a = 12, b = 36, c = 18'dir: EBOB(12, 36) = 12, EBOB(36, 18) = 18 ve EBOB(12, 18) = 6'dır. İki sayının ortak çarpanı bulunmayabileceğini düşünen öğrenci A şıkkını, yalnızca 12 ile 18'in ortak asal çarpanı olan 3'ü yazan öğrenci C şıkkını işaretler. Cevap D.
4, 6 ve 10 sayılarının her biriyle bölündüğünde 3 kalanını veren ve 7 ile kalansız bölünebilen en küçük pozitif doğal sayı kaçtır?
Doğru cevap: A — 63
Sayının 3 eksiği 4, 6 ve 10'a tam bölünür, yani EKOK(4, 6, 10) = 60'ın katıdır. Sayı 60k + 3 biçimindedir: 63, 123, 183, 243, ... Bunlardan 7 ile tam bölünen ilki 63 = 7 · 9'dur. 7 koşulunu denetlemeden listedeki ikinci terimi işaretleyen öğrenci B şıkkını, EKOK'u 4 · 6 · 10 = 240 alan öğrenci ise D şıkkını seçer. Cevap A.
a, b ve c ardışık üç pozitif doğal sayı olmak üzere (a < b < c) EBOB(a, b) + EBOB(b, c) toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B — 2
Ardışık iki doğal sayının ortak böleni yalnızca 1 olabilir: d sayısı hem n'yi hem n + 1'i bölseydi farkları olan 1'i de bölerdi, bu da d = 1 demektir. Buna göre EBOB(a, b) = 1 ve EBOB(b, c) = 1 olduğundan toplam 1 + 1 = 2'dir ve sonuç sayılardan bağımsızdır. Ardışık sayıların ortak bölenini 1 bulup toplamayı unutan öğrenci A şıkkını işaretler. Cevap B.
