Asal Çarpanlar, OBEB – OKEK — Test 8

Doğru cevap: E — 12

36 = 2^2 · 3^2 olduğundan bir sayının 36 ile aralarında asal olması, o sayının ne 2 ile ne de 3 ile bölünmesi demektir. 1'den 35'e kadar 2'nin katları 17, 3'ün katları 11, 6'nın katları 5 tanedir; en az biriyle bölünenler 17 + 11 - 5 = 23 sayıdır. Geriye 35 - 23 = 12 sayı kalır: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35. Yalnızca asal sayıları sayan öğrenci 1, 25 ve 35'i listeye almaz ve 9 sayı bulup C şıkkına yönelir. Cevap E.

Doğru cevap: E — 6

EKOK 60 olduğuna göre x sayısı 60'ın bir bölenidir. 60 = 2^2 · 3 · 5 sayısının bölenleri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60'tır. Bunlardan 12 ile EKOK'u 60 olanlar, 5 çarpanını içerenlerdir: 5, 10, 15, 20, 30 ve 60 olmak üzere 6 sayı; kalan bölenlerin 12 ile EKOK'u 12'de kalır. x'in 12'den büyük olması gerektiğini sanan öğrenci 5 ile 10'u listeden çıkarır, geriye kalan 15, 20, 30 ve 60'ı sayıp 4 bulur ve C şıkkını işaretler. Cevap E.

Doğru cevap: D — 24

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır: 72 = 2^3 · 3^2 ve 120 = 2^3 · 3 · 5'tir. EBOB'da ortak asal çarpanların küçük üsleri çarpılır: 2^3 · 3 = 24 bulunur. 3'ün üssünü büyük seçen öğrenci 2^3 · 3^2 = 72 der; yalnızca 2'nin kuvvetini alıp 3 çarpanını unutan öğrenci ise B şıkkını işaretler. Cevap D.

Doğru cevap: A — 42

14 = 2 · 7 ve 21 = 3 · 7'dir. EKOK'ta tüm asal çarpanların en büyük üsleri alınır: 2 · 3 · 7 = 42 bulunur. Sayıları doğrudan çarpan öğrenci 14 · 21 = 294 sonucuna ulaşıp E şıkkını işaretler; oysa ortak çarpan olan 7 yalnızca bir kez alınmalıdır. Cevap A.

Doğru cevap: D — 27

900 = 2^2 · 3^2 · 5^2 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Bölen sayısı, üslerin birer fazlasının çarpımıdır: (2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 27 bulunur. Üsleri bir artırmadan çarpan öğrenci 2 · 2 · 2 = 8 sonucuna ulaşır; üslerden yalnızca birini artırmayı unutan öğrenci ise 3 · 3 · 2 = 18 hesabıyla B şıkkını işaretler. Cevap D.

Doğru cevap: A — 128

Sayılar 7k ve 9k biçiminde yazılır; 7 ile 9 aralarında asal olduğundan EBOB k'ya eşittir, yani k = 8'dir. Sayılar 56 ile 72 olur ve toplamları 56 + 72 = 128'dir. Toplam yerine EKOK'u hesaplayan öğrenci 7 · 9 · 8 = 504 sonucundan E şıkkını işaretler. Cevap A.

Doğru cevap: C — 20

Küpün ayrıtı üç boyutu da tam bölmeli ve en büyük olmalıdır; bu da EBOB'dur. 40 = 2^3 · 5, 60 = 2^2 · 3 · 5 ve 100 = 2^2 · 5^2 olduğundan EBOB = 2^2 · 5 = 20 cm bulunur. 2'nin üssünü 2 yerine 1 alan öğrenci 2 · 5 = 10 sonucundan B şıkkına, yalnızca ortak 5 çarpanını gören öğrenci ise A şıkkına yönelir. Cevap C.

Doğru cevap: D — 28

İki sayının ortak bölenleri, EBOB'larının bölenleridir. 24 = 2^3 · 3 ve 36 = 2^2 · 3^2 olduğundan EBOB(24, 36) = 2^2 · 3 = 12'dir. 12'nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 olup toplamları 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28'dir. EBOB'un kendisini cevap sanan öğrenci A şıkkını, 12'yi toplama katmayan öğrenci ise B şıkkını işaretler. Cevap D.

Doğru cevap: A — 1

Sayılar aralarında asal olduğundan EKOK'ları çarpımlarına eşittir: a · b = 240. 240 = 2^4 · 3 · 5 sayısının aralarında asal çarpan ikilileri (1, 240), (3, 80), (5, 48) ve (15, 16) biçimindedir. Bunlardan her iki sayısı da iki basamaklı olan tek ikili 15 ile 16'dır; farkları 16 - 15 = 1'dir. Sayıların farkı yerine küçük sayının kendisini yanıt sanan öğrenci E şıkkını işaretler. Cevap A.

Doğru cevap: B — 2

Sayılar 6m ve 6n (m ile n aralarında asal, m ≤ n) biçiminde yazılır. EKOK 6mn = 90 olduğundan mn = 15 bulunur. Çarpımları 15 olan ve aralarında asal olan ikililer (1, 15) ve (3, 5)'tir; her ikisi de uygundur. Buradan sayı ikilileri (6, 90) ve (18, 30) olmak üzere 2 tanedir. Sorudaki a ≤ b koşulunu gözden kaçırıp (1, 15), (15, 1), (3, 5) ve (5, 3) sıralamalarını ayrı sayan öğrenci 4 ikili bulup D şıkkına yönelir. Cevap B.

Doğru cevap: A — 53

Bölen ile kalan farkları eşit olmadığından kısayol yoktur. 6 ile bölündüğünde 5 kalanını veren sayılar 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, ... biçimindedir; bunlardan 5'e bölümünden 3 kalanını verenler 23, 53, 83, ... yani 30'ar artan sayılardır. Bu listede 7 ile bölümünden 4 kalanını veren ilk sayı 53'tür (53 = 7 · 7 + 4). Şıkların tümü ilk iki koşulu sağladığından belirleyici olan üçüncü koşuldur; 53'ün 7 ile bölümünden kalanını yanlış hesaplayıp listedeki bir sonraki terime geçen öğrenci 83 bulup B şıkkını seçer (oysa 83 = 7 · 11 + 6'dır). Cevap A.

Doğru cevap: B — 25

Hem 4 hem 9 ile bölünen sayılar EKOK(4, 9) = 36'nın katlarıdır. 999 = 36 · 27 + 27 olduğundan 999'a kadar 36'nın 27 katı vardır; bunlardan üç basamaklı olmayan 36 ve 72 çıkarılır. Geriye 27 - 2 = 25 sayı kalır. İki basamaklı katları elemeyi unutan öğrenci C şıkkını işaretler. Cevap B.

Doğru cevap: E — 33

12 = 2^2 · 3 olduğundan bir sayının 12 ile aralarında asal olması, o sayının ne 2 ile ne de 3 ile bölünmesi demektir. 100'e kadar 2'nin katları 50, 3'ün katları 33, 6'nın katları 16 tanedir; en az biriyle bölünenler 50 + 33 - 16 = 67 sayıdır. Geriye 100 - 67 = 33 sayı kalır. 12 ile aralarında asal olmayı asal sayı olmak sanan öğrenci 100'e kadarki 25 asal sayıyı sayıp B şıkkını işaretler. Cevap E.

Doğru cevap: D — 899

Toplamı sabit olan iki sayının çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür. En yakın ikili 30 ile 30'dur, ancak EBOB(30, 30) = 30 olduğundan aralarında asal değildir. Bir sonraki adayda 29 ile 31 sayıları alınır; ikisi de asal olduğundan aralarında asaldır ve çarpımları 29 · 31 = 899'dur. Aralarında asal olma koşulunu gözden kaçırıp 30 · 30 = 900 diyen öğrenci E şıkkını, 23 ile 37 gibi daha uzak bir ikilide duran öğrenci ise C şıkkına yönelir. Cevap D.

Doğru cevap: E — 3920

Sayılar 14m ve 14n (m ile n aralarında asal) biçiminde yazılır. Toplam 14(m + n) = 126 olduğundan m + n = 9 bulunur. Aralarında asal ikililer (1, 8), (2, 7) ve (4, 5)'tir; çarpımlar 196mn biçiminde olduğundan mn çarpımı en büyük olan (4, 5) ikilisi seçilir: 196 · 20 = 3920. Sayılar 56 ile 70'tir. mn için (2, 7) ikilisinde duran öğrenci 196 · 14 = 2744 sonucundan B şıkkını işaretler. Cevap E.