Çarpanlara Ayırma – Özdeşlikler — Test 2

Doğru cevap: A — (x - y + 1)(x + y - 1)

Son üç terim gruplanır: x^2 - (y^2 - 2y + 1) = x^2 - (y - 1)^2. Bu bir iki kare farkıdır: [x - (y - 1)]·[x + (y - 1)]. Düzenlenirse (x - y + 1)(x + y - 1) elde edilir. Parantez önündeki eksi işareti dağıtılmazsa x^2 - (y + 1)^2 sanılır ve B şıkkına benzer hatalı ayrışımlar yazılır. Cevap A.

Doğru cevap: B — 6

Özdeşlik: a^3 + b^3 = (a + b)^3 − 3ab(a + b). 35 = 5^3 − 3ab·5 = 125 − 15ab olur. 15ab = 90 ve ab = 6 bulunur. (Kontrol: a + b = 5 ve ab = 6 için a = 2, b = 3 olur; 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35 sağlanır.) 3ab(a + b) teriminde (a + b) çarpanı unutulup 125 − 3ab = 35 kurulursa ab = 30 gibi şıklarda bulunmayan hatalı bir sonuç çıkar. Cevap B.

Doğru cevap: C — (3x + 4)(2x - 3)

6x^2 için 3x ve 2x, -12 için +4 ve -3 denenir. Çapraz çarpımlar: 3x·(-3) + 4·2x = -9x + 8x = -x, orta terimi verir. Sonuç (3x + 4)(2x - 3)'tür. İşaretler ters yazılırsa (3x - 4)(2x + 3) = 6x^2 + x - 12 olur ve A şıkkı yanlış olarak seçilir. Cevap C.

Doğru cevap: E — 4047

İki kare farkı: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). 2024^2 - 2023^2 = (2024 - 2023)·(2024 + 2023) = 1·4047 = 4047. Yalnızca farka bakılıp sonucu 1 (A şıkkı) sanmak sık yapılan bir hatadır; toplam çarpanı unutulmamalıdır. Cevap E.

Doğru cevap: D — (x - 2)/(x + 3)

Pay çarpanlarına ayrılır: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Payda iki kare farkıdır: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). Ortak çarpan (x - 3) sadeleşir ve (x - 2)/(x + 3) kalır. Payda ile paydaki yanlış çarpan sadeleştirilirse (x - 2)/(x - 3) (B şıkkı) bulunur. Cevap D.

Doğru cevap: A — 5/2

Paydalar eşitlenir: 1/a + 1/b = (b + a)/(a·b). Yerine konursa (a + b)/(a·b) = 10/4 olur. Sadeleştirilirse 5/2 bulunur. Pay ile payda yer değiştirilirse 4/10 = 2/5 gibi hatalı bir sonuç; a + b ile a·b toplanırsa 14 (D şıkkı) çıkar. Cevap A.

Doğru cevap: B — 8

Diğer çarpan (x + k) olsun: (x + 3)(x + k) = x^2 + (3 + k)x + 3k. Sabit terimler eşitlenir: 3k = 15, buradan k = 5. b = 3 + k = 8 bulunur. Diğer çarpanın sabiti olan 5 (A şıkkı) doğrudan cevap sanılırsa hata yapılır. Cevap B.

Doğru cevap: C — (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)

İki küp toplamı: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). 8x^3 = (2x)^3 ve 27 = 3^3 olduğundan a = 2x, b = 3'tür. a^2 - ab + b^2 = 4x^2 - 6x + 9 olur ve sonuç (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)'dur. İkinci parantezin orta terimi artı yazılırsa A şıkkı seçilir; oysa artı işaret küp farkına aittir. Cevap C.

Doğru cevap: E — 12

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 açılımı yazılır. 49 = 25 + 2ab olduğundan 2ab = 24 bulunur. Buradan a·b = 12'dir. 2ab = 24 sonucunda ikiye bölme adımı atlanırsa hata olur; a + b = 7 (C şıkkı) de doğrudan cevap sanılabilecek bir tuzaktır. Cevap E.

Doğru cevap: D — 52

Özdeşlik: (x + 1/x)^3 = x^3 + 1/x^3 + 3·(x + 1/x). 4^3 = x^3 + 1/x^3 + 3·4 olur, yani 64 = x^3 + 1/x^3 + 12. x^3 + 1/x^3 = 64 - 12 = 52 bulunur. 3(x + 1/x) terimi çıkarılmazsa 64 (E şıkkı) bulunur ki bu en sık yapılan hatadır. Cevap D.

Doğru cevap: A — 15

Özdeşlik: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca). a + b + c = 0 olduğundan sağ taraf sıfırdır: a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. Sonuç 3·5 = 15'tir. Çarpımın küpü alınıp 125 (E şıkkı) seçilirse özdeşlik yanlış kullanılmış olur. Cevap A.

Doğru cevap: B — 37

Özdeşlik: a^2 + b^2 + c^2 − ab − bc − ca = [(a − b)^2 + (b − c)^2 + (a − c)^2]/2. a − c = (a − b) + (b − c) = 3 + 4 = 7'dir. Değerler yerine konur: (3^2 + 4^2 + 7^2)/2 = (9 + 16 + 49)/2 = 74/2 = 37. Yalnızca (a − c)^2 hesaplanırsa 49 (C şıkkı) bulunur. İkiye bölme adımı atlanırsa 74 (D şıkkı) bulunur. Cevap B.

Doğru cevap: C — 13

İfadeye x^2 eklenip çıkarılır: x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2. Bu iki kare farkıdır: (x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x), yani diğer çarpan x^2 - x + 1'dir. x = 4 için 16 - 4 + 1 = 13 bulunur. Yanlışlıkla verilen çarpan hesaplanırsa 16 + 4 + 1 = 21 (E şıkkı) çıkar. Cevap C.

Doğru cevap: D — 23

Eşitliğin iki yanı x'e bölünür: x - 5 + 1/x = 0, yani x + 1/x = 5. (x + 1/x)^2 = x^2 + 2 + 1/x^2 özdeşliği kullanılır: 25 = x^2 + 1/x^2 + 2. x^2 + 1/x^2 = 25 - 2 = 23 bulunur. 2 çıkarılmazsa 25 (E şıkkı) seçilir. Cevap D.

Doğru cevap: E — 1025

Pay iki kare farkıdır: x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1). Sadeleştirme sonucu ifade x + 1'e eşittir (x ≠ 1). x = 2^10 = 1024 olduğundan sonuç 1024 + 1 = 1025'tir. Sadeleşme yanlış yapılıp x - 1 alınırsa 1023 (C şıkkı) bulunur. Cevap E.