Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Çarpanlara Ayırma – Özdeşlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 122 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 3. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
9 kolay6 orta0 zor
15a^2b - 25ab^2 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — 5ab·(3a - 5b)
Katsayıların OBEB'i 5, ortak değişkenlerin en küçük kuvvetleri a ve b'dir; ortak çarpan 5ab olur. 15a^2b : 5ab = 3a ve 25ab^2 : 5ab = 5b bulunur. Sonuç 5ab·(3a − 5b)'dir. a ve b'nin bölümleri karıştırılırsa C şıkkı (5ab·(5a − 3b)) seçilir. Cevap A.
105^2 - 95^2 işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C — 2000
İki kare farkı: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). 105^2 - 95^2 = (105 - 95)·(105 + 95) = 10·200 = 2000. Yalnızca farkın karesi alınıp (105 - 95)^2 = 100 (A şıkkı) yazılmak sık yapılan bir hatadır. Cevap C.
x^2 + 8x + 16 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (x + 4)^2
Tam kare açılımı: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2. 16 = 4^2 ve 2·x·4 = 8x orta terimle uyuşur. x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 olur. Sabit terimin karekökü yerine yarısı sabit sayı olarak alınırsa C şıkkı (x + 8)(x + 2) gibi yanlış ayrışımlar denenir. Cevap E.
x^2 - 9x + 20 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — (x - 4)(x - 5)
Çarpımları 20, toplamları -9 olan iki sayı aranır: -4 ve -5. x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5) yazılır. Sabit terim artı olduğu için iki çarpan da eksi olmalıdır; işaretler artı alınırsa A şıkkı seçilir ki (x + 4)(x + 5) = x^2 + 9x + 20'dir. Cevap B.
a + b = 6 ve a^2 + b^2 = 26 olduğuna göre a·b kaçtır?
Doğru cevap: D — 5
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 özdeşliği yazılır. 36 = 26 + 2ab olduğundan 2ab = 10 bulunur. a·b = 5'tir. 2ab = 10 sonucunda ikiye bölme adımı unutulursa 10 (E şıkkı) işaretlenir. Cevap D.
x = 93 olmak üzere (x^2 - 49)/(x + 7) ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: A — 86
Pay iki kare farkıdır: x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7). Sadeleştirme sonucu ifade x - 7'ye eşittir (x ≠ -7). x = 93 için 93 - 7 = 86 bulunur. Sadeleşmenin yönü karıştırılıp x + 7 alınırsa 100 (C şıkkı) çıkar. Cevap A.
4x^2 - 25y^2 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C — (2x - 5y)(2x + 5y)
4x^2 = (2x)^2 ve 25y^2 = (5y)^2 olduğundan ifade iki kare farkıdır. a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) kuralı a = 2x, b = 5y ile uygulanır. Sonuç (2x - 5y)(2x + 5y) olur. Kare farkı ile tam kare karıştırılırsa A şıkkı (2x - 5y)^2 seçilir. Cevap C.
x^2 - y^2 = 40 ve x + y = 10 olduğuna göre x - y kaçtır?
Doğru cevap: B — 4
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) çarpanlarına ayrılır. 40 = (x - y)·10 olduğundan x - y = 4 bulunur. Çarpma yerine çıkarma yapılıp 40 - 10 = 30 (D şıkkı) alınması tipik bir hatadır. Cevap B.
x^3 + 64 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (x + 4)(x^2 - 4x + 16)
İki küp toplamı: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). 64 = 4^3 olduğundan a = x, b = 4 alınır. a^2 - ab + b^2 = x^2 - 4x + 16 olur. İkinci parantezin orta terimi artı yazılırsa A şıkkı seçilir; oysa küp toplamında bu terim eksidir. Cevap E.
x^3 - 5x^2 + 2x - 10 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — (x - 5)(x^2 + 2)
Terimler ikişerli gruplanır: (x^3 - 5x^2) + (2x - 10). Birinci gruptan x^2, ikinci gruptan 2 ortak parantezine alınır: x^2(x - 5) + 2(x - 5). Ortak çarpan (x - 5) parantezine alınır: (x - 5)(x^2 + 2). İkinci gruptaki işaret yanlış alınırsa A şıkkı (x + 5)(x^2 + 2) yazılır. Cevap D.
x + 1/x = 6 olduğuna göre x^2 + 1/x^2 kaçtır?
Doğru cevap: A — 34
(x + 1/x)^2 = x^2 + 2 + 1/x^2 özdeşliği kullanılır. 6^2 = x^2 + 1/x^2 + 2 olduğundan x^2 + 1/x^2 = 36 - 2 = 34. 2'yi çıkarmayı unutup 36 (B şıkkı) işaretlemek en sık yapılan hatadır. Cevap A.
3x^2 - 11x + 6 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — (3x - 2)(x - 3)
3x^2 için 3x ve x, 6 için -2 ve -3 denenir. Çapraz çarpımlar: 3x·(-3) + (-2)·x = -9x - 2x = -11x, orta terimi verir. Sonuç (3x - 2)(x - 3)'tür. Sabit terimin çarpanları yer değiştirilirse (3x - 1)(x - 6) = 3x^2 - 19x + 6 olur ve D şıkkı yanlış olarak seçilir. Cevap B.
a - b = 4 ve a^2 + b^2 = 34 olduğuna göre a·b kaçtır?
Doğru cevap: C — 9
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 özdeşliği yazılır. 16 = 34 - 2ab olduğundan 2ab = 18 bulunur. a·b = 9'dur. İkiye bölme adımı atlanırsa 18 (D şıkkı) işaretlenir. Cevap C.
a^2 - b^2 = 63 ve a - b = 7 olduğuna göre a·b kaçtır?
Doğru cevap: E — 8
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) olduğundan 63 = 7·(a + b) ve a + b = 9 bulunur. a - b = 7 ile a + b = 9 taraf tarafa toplanırsa 2a = 16, a = 8 olur. b = 9 - 8 = 1 ve a·b = 8·1 = 8'dir. b değeri cevap sanılırsa 1 (A şıkkı) işaretlenir. Cevap E.
9x^2 - 6x + 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — (3x - 1)^2
9x^2 = (3x)^2, 1 = 1^2 ve 2·3x·1 = 6x orta terimle uyuşur. Orta terim eksi olduğundan a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 kullanılır. 9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2 olur. Orta terim göz ardı edilip kare farkı uygulanırsa B şıkkı (3x - 1)(3x + 1) seçilir. Cevap D.
