Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Çarpanlara Ayırma – Özdeşlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 122 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 4. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
0 kolay9 orta6 zor
x = 47 olmak üzere (x^2 - x - 6)/(x - 3) ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: A — 49
Pay çarpanlarına ayrılır: x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2). Sadeleştirme sonucu ifade x + 2'ye eşittir (x ≠ 3). x = 47 için 47 + 2 = 49 bulunur. Payın çarpanları (x - 2)(x + 3) sanılırsa x + 3 = 50 (B şıkkı) çıkar. Cevap A.
a^2 - b^2 + a - b ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — (a - b)(a + b + 1)
İlk iki terim iki kare farkıdır: a^2 − b^2 = (a − b)(a + b). İfade (a − b)(a + b) + (a − b) biçimine gelir. Ortak çarpan (a − b) parantezine alınır: (a − b)(a + b + 1). Son terimden gelen +1 ortak paranteze yazılmayı unutulursa D şıkkı (a − b)(a + b) seçilir. Cevap B.
x pozitif bir gerçek sayı olmak üzere x^2 + 1/x^2 = 14 olduğuna göre x + 1/x kaçtır?
Doğru cevap: C — 4
(x + 1/x)^2 = x^2 + 2 + 1/x^2 açılımı kullanılır. (x + 1/x)^2 = 14 + 2 = 16 olur. x pozitif olduğundan x + 1/x = 4'tür. Karekök alma adımı unutulup 16 (E şıkkı) işaretlenirse hata yapılır. Cevap C.
2^16 - 1 sayısı iki kare farkı kullanılarak (2^8 - 1)·(2^8 + 1) biçiminde yazılıyor. Buna göre bu iki çarpandan büyük olanı kaçtır?
Doğru cevap: E — 257
2^16 = (2^8)^2 olduğundan 2^16 - 1 = (2^8)^2 - 1^2 = (2^8 - 1)(2^8 + 1). 2^8 = 256'dır; çarpanlar 255 ve 257 olur. Büyük çarpan 2^8 + 1 = 257'dir. Küçük çarpan olan 255 (D şıkkı) ile karıştırılmamalıdır. Cevap E.
(4x^2 - 9)/(2x^2 + 3x) rasyonel ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? (x ≠ 0, 2x + 3 ≠ 0)
Doğru cevap: D — (2x - 3)/x
Pay iki kare farkıdır: 4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3). Paydada ortak çarpan x parantezine alınır: 2x^2 + 3x = x(2x + 3). Ortak çarpan (2x + 3) sadeleşir ve (2x - 3)/x kalır. Payda ile pay ters çevrilirse E şıkkı x/(2x - 3) seçilir. Cevap D.
a + b = 7 ve a·b = 12 olduğuna göre a^3 + b^3 kaçtır?
Doğru cevap: A — 91
Özdeşlik: a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b). Değerler yerine konur: 7^3 - 3·12·7 = 343 - 252. Sonuç 91'dir. 3ab(a + b) terimi çıkarılmazsa 343 (E şıkkı) bulunur. Cevap A.
x^2 + kx + 36 ifadesi bir tam kare ise k'nın pozitif değeri kaçtır?
Doğru cevap: B — 12
Tam kare olması için ifade (x + m)^2 = x^2 + 2mx + m^2 biçiminde olmalıdır. m^2 = 36 olduğundan pozitif değer m = 6'dır. k = 2m = 12 bulunur. Karekök alındıktan sonra iki ile çarpma adımı atlanırsa 6 (A şıkkı) işaretlenir. Cevap B.
x^4 - 5x^2 + 4 ifadesinin çarpanlarına tam olarak ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C — (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)
x^2 = t denirse t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) olur. Geri yazılırsa (x^2 - 1)(x^2 - 4) elde edilir. Her iki çarpan da iki kare farkıdır: (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2). İkinci çarpanın işareti artı alınırsa E şıkkı (x^2 - 1)(x^2 + 4) seçilir ki bu x^4 + 3x^2 - 4'e eşittir. Cevap C.
47^2 + 2·47·53 + 53^2 işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: E — 10000
İfade a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 tam kare açılımıdır. a = 47, b = 53 için (47 + 53)^2 yazılır. Sonuç 100^2 = 10000'dir. Kare alma adımı unutulup 47 + 53 = 100 (A şıkkı) işaretlenmesi tipik bir hatadır. Cevap E.
x - 1/x = 2 olduğuna göre x^3 - 1/x^3 kaçtır?
Doğru cevap: D — 14
Özdeşlik: (x - 1/x)^3 = x^3 - 1/x^3 - 3·(x - 1/x). 2^3 = x^3 - 1/x^3 - 3·2 olur, yani 8 = x^3 - 1/x^3 - 6. x^3 - 1/x^3 = 8 + 6 = 14 bulunur. 3(x - 1/x) terimi eklenmezse 8 (B şıkkı) bulunur. Cevap D.
a + b + c = 6 ve ab + bc + ca = 11 olduğuna göre a^2 + b^2 + c^2 kaçtır?
Doğru cevap: A — 14
Özdeşlik: (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca). 36 = a^2 + b^2 + c^2 + 2·11 = a^2 + b^2 + c^2 + 22. a^2 + b^2 + c^2 = 36 − 22 = 14 bulunur. 2 katsayısı unutulup 36 − 11 = 25 (C şıkkı) alınması yaygın bir hatadır; çıkarma yapılmayıp yalnızca 2(ab + bc + ca) = 22 değerinin yazılması ise B şıkkına götürür. Cevap A.
x^4 + 4 ifadesinin çarpanlarından biri x^2 + 2x + 2'dir. Diğer çarpanın x = 5 için değeri kaçtır?
Doğru cevap: B — 17
İfadeye 4x^2 eklenip çıkarılır: x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2. Bu iki kare farkıdır: (x^2 + 2 - 2x)(x^2 + 2 + 2x); diğer çarpan x^2 - 2x + 2'dir. x = 5 için 25 - 10 + 2 = 17 bulunur. Yanlışlıkla verilen çarpan hesaplanırsa 25 + 10 + 2 = 37 (D şıkkı) çıkar. Cevap B.
a + b = 8 ve a^3 + b^3 = 152 olduğuna göre a·b kaçtır?
Doğru cevap: C — 15
Özdeşlik: a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b). 152 = 8^3 - 3ab·8 = 512 - 24ab olur. 24ab = 360 ve a·b = 15 bulunur. (a + b) çarpanı unutulup 512 - 3ab = 152 kurulursa ab = 120 (E şıkkı) gibi hatalı bir sonuç çıkar. Cevap C.
999^2 + 2·999 + 1 işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: D — 1000000
İfade a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2 tam kare açılımıdır. a = 999 için (999 + 1)^2 = 1000^2 yazılır. Sonuç 1000000'dir. Yalnızca 999^2 hesaplanıp 998001 (A şıkkı) işaretlenirse kalan terimler göz ardı edilmiş olur. Cevap D.
7·8·9·10 + 1 sayısının karekökü kaçtır?
Doğru cevap: E — 71
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2 özdeşliği kullanılır. Uçtaki ve ortadaki çarpanlar eşleştirilirse (7·10)·(8·9) + 1 = 70·72 + 1 = 5041 olur. 5041 = 71^2 olduğundan karekök 71'dir. 7·10 = 70 (D şıkkı) doğrudan cevap sanılırsa hata yapılır. Cevap E.
