Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Çarpanlara Ayırma – Özdeşlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 122 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 5. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
5 kolay10 orta0 zor
a^2 - b^2 = 24 ve a + b = 6 olduğuna göre a kaçtır?
Doğru cevap: D — 5
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) olduğundan 24 = (a - b) · 6 → a - b = 4. a + b = 6 ve a - b = 4 denklemleri toplanırsa 2a = 10 → a = 5 bulunur. C (4), a - b farkını bulup a değerini hesaplamadan yanıt olarak yazanların sonucudur. Cevap D.
(a + b)^2 = 64 ve a^2 + b^2 = 40 olduğuna göre (a - b)^2 kaçtır?
Doğru cevap: D — 16
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 → 64 = 40 + 2ab → 2ab = 24. (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 40 - 24 = 16 bulunur. E (104), (a - b)^2 yerine soruda verilen 64 ile 40 değerlerini toplayanların sonucudur; oysa burada 2ab çıkarılmalıdır. Cevap D.
12x^2 + 5x - 2 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — (3x + 2)(4x - 1)
Baş katsayı ile sabit terimin çarpımı 12 · (-2) = -24'tür; çarpımı -24, toplamı +5 olan iki sayı aranır: +8 ve -3. Orta terim 5x = 8x - 3x biçiminde yazılıp gruplandırılır: 12x^2 + 8x - 3x - 2 = 4x(3x + 2) - (3x + 2) = (3x + 2)(4x - 1). (3x + 2)(4x - 1) açılırsa 12x^2 - 3x + 8x - 2 = 12x^2 + 5x - 2 olduğu görülür. A ((3x - 2)(4x + 1)), işaretleri yer değiştirerek orta terimi +5x yerine -5x veren dağılımı seçenlerin sonucudur. Cevap D.
3x^2 - 12 ifadesinin çarpanlarına tam olarak ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — 3(x - 2)(x + 2)
Önce ortak çarpan parantezine alınır: 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4). Parantez içi iki kare farkıdır: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Buna göre ifade 3(x - 2)(x + 2) olur. A ((3x - 6)(x - 2)), 3'ü birinci paranteze dağıttıktan sonra ikinci çarpanı (x + 2) yerine (x - 2) yazanların, yani iki kare farkında işaret hatası yapanların sonucudur; bu çarpım 3x^2 - 12x + 12 verir. Cevap E.
x = 55 olmak üzere (x^2 + 6x + 9)/(x + 3) ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: B — 58
Pay tam karedir: x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2. Bir (x + 3) çarpanı sadeleşir ve ifade x + 3 olur: 55 + 3 = 58. A (55), sadeleştirmeden sonra x + 3 yerine x'i yazanların sonucudur. Cevap B.
8x^3 - 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)
Küp farkı özdeşliği: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Burada a = 2x ve b = 1 alınır: (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1). B ((2x - 1)(4x^2 - 2x + 1)), ikinci çarpandaki orta terimin işaretini küp toplamı özdeşliğindeki gibi eksi yazanların sonucudur. Cevap D.
x + y = 9 ve x - y = 4 olduğuna göre x^2 - y^2 kaçtır?
Doğru cevap: B — 36
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) özdeşliği kullanılır. 4 · 9 = 36 bulunur. A (13), iki kare farkını çarpım yerine toplam sanıp 9 + 4 işlemini yapanların sonucudur. Cevap B.
x^3 - 4x ifadesinin çarpanlarına tam olarak ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — x(x - 2)(x + 2)
Önce ortak çarpan alınır: x^3 - 4x = x(x^2 - 4). Parantez içi iki kare farkıdır: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Buna göre ifade x(x - 2)(x + 2) olur. A (x(x - 4)(x + 4)), parantez içindeki 4'ü kare olarak değil doğrudan sayı olarak kullananların sonucudur. Cevap E.
(x^2 - 9)/(x^2 - 6x + 9) rasyonel ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? (x ≠ 3)
Doğru cevap: E — (x + 3)/(x - 3)
Pay iki kare farkıdır: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). Payda tam karedir: x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2. Bir (x - 3) çarpanı sadeleşir: (x + 3)/(x - 3). A ((x - 3)/(x + 3)), pay ve paydadaki çarpanları ters yerleştirenlerin sonucudur. Cevap E.
6x^2 - 7x - 3 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — (3x + 1)(2x - 3)
Baş katsayı 6 ve sabit terim -3 uygun biçimde ayrıştırılır. (3x + 1)(2x - 3) açılırsa 6x^2 - 9x + 2x - 3 = 6x^2 - 7x - 3 elde edilir. B ((3x - 1)(2x + 3)), işaretleri yer değiştirip orta terimi -7x yerine +7x veren dağılımı seçenlerin sonucudur. Cevap A.
a/b + b/a = 3 ve a^2 + b^2 = 27 olduğuna göre a · b kaçtır?
Doğru cevap: C — 9
Toplamı ortak paydada yazalım: a/b + b/a = (a^2 + b^2)/(ab). 27/(ab) = 3 → ab = 9 bulunur. E (27), (a^2 + b^2)/(ab) = 3 eşitliğinde ab'yi yalnız bırakmayıp soruda verilen a^2 + b^2 = 27 değerini doğrudan yanıt olarak yazanların sonucudur. Cevap C.
a + b = 12 ve a - b = 4 olduğuna göre a · b kaçtır?
Doğru cevap: B — 32
İki denklem toplanırsa 2a = 16 → a = 8, buradan b = 4 olur. a · b = 8 · 4 = 32 bulunur. D (64), (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab özdeşliğinde 128 sonucunu 4 yerine 2'ye bölenlerin sonucudur. Cevap B.
2x^2 + 8x + 8 ifadesinin çarpanlarına tam olarak ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — 2(x + 2)^2
Önce ortak çarpan alınır: 2x^2 + 8x + 8 = 2(x^2 + 4x + 4). Parantez içi tam karedir: x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2. Buna göre ifade 2(x + 2)^2 olur. C (2(x + 4)^2), ortak çarpanı aldıktan sonra parantez içindeki orta terimi 4x yerine 8x sanıp tam kareyi (x + 4)^2 kuranların sonucudur. Cevap B.
x^3 + 2x^2 - x - 2 ifadesinin çarpanlarına tam olarak ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C — (x + 2)(x - 1)(x + 1)
Terimler ikişerli gruplanır: x^2(x + 2) - (x + 2). Ortak parantez alınır: (x + 2)(x^2 - 1). x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) olduğundan sonuç (x + 2)(x - 1)(x + 1) olur. D ((x + 2)(x^2 + 1)), ikinci gruptaki -x - 2 ifadesinden -1 yerine +1 parantezine alanların sonucudur. Cevap C.
125^2 - 75^2 işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C — 10000
İki kare farkı özdeşliği uygulanır: (125 - 75)(125 + 75). 50 · 200 = 10000 bulunur. A (2500), yalnızca farkın karesi olan 50^2 değerini yazanların sonucudur. Cevap C.
