Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Çarpanlara Ayırma – Özdeşlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 122 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 6. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
10 kolay3 orta2 zor
a + b = 5 ve a · b = 3 olduğuna göre a^4 + b^4 kaçtır?
Doğru cevap: C — 343
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 25 - 6 = 19. a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2 = 361 - 2 · 9 = 361 - 18 = 343. D (361), ikinci adımda 2(ab)^2 terimini çıkarmayı unutanların sonucudur. Cevap C.
68^2 - 2 · 68 · 18 + 18^2 işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: B — 2500
İfade tam kare farkı açılımıdır: a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2. (68 - 18)^2 = 50^2 = 2500 bulunur. E (7396), orta terimin işaretini eksi yerine artı sanıp ifadeyi (68 + 18)^2 = 86^2 = 7396 biçiminde hesaplayanların sonucudur. Cevap B.
6x^4 + 9x^3 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — 3x^3(2x + 3)
Katsayıların en büyük ortak böleni 3'tür. Değişkende ortak olan en küçük üs x^3'tür. 3x^3 parantezine alınırsa 3x^3(2x + 3) bulunur. C (3x^2(2x^2 + 3)), ortak çarpanı 3x^3 yerine 3x^2 alıp parantez içinde kalması gereken x'i yazmayı unutanların sonucudur; 3x^2 ile ayrılsaydı doğrusu 3x^2(2x^2 + 3x) olurdu. Cevap A.
x^2 - y^2 = 36 ve x + y = 12 olduğuna göre x - y kaçtır?
Doğru cevap: A — 3
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) olduğundan 36 = (x - y) · 12 yazılır. x - y = 36/12 = 3 bulunur. B (24), çarpanlar arasındaki ilişkiyi bölme yerine çıkarma sanıp 36 - 12 işlemini yapanların sonucudur. Cevap A.
(a + b)^2 - (a - b)^2 = 48 ve a = 6 olduğuna göre b kaçtır?
Doğru cevap: B — 2
(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab özdeşliği kullanılır. 4 · 6 · b = 48 → 24b = 48 → b = 2 bulunur. A (1), özdeşliği 4ab yerine 8ab sanıp 48/48 işlemini yapanların sonucudur. Cevap B.
a + 1/a = 3 olduğuna göre a^4 + 1/a^4 kaçtır?
Doğru cevap: C — 47
Önce karesi alınır: (a + 1/a)^2 = a^2 + 2 + 1/a^2 = 9 → a^2 + 1/a^2 = 7. Bu kez bulunan değerin karesi alınır: (a^2 + 1/a^2)^2 = a^4 + 2 + 1/a^4 = 49. a^4 + 1/a^4 = 49 - 2 = 47 bulunur. D (49), ikinci adımdaki 2'yi çıkarmayı unutanların sonucudur. Cevap C.
12x^3 - 18x^2 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — 6x^2·(2x - 3)
Ortak çarpan: 12x^3 ile 18x^2 için katsayıların OBEB'i 6, değişkenin en küçük kuvveti x^2'dir. Ortak çarpan 6x^2 parantezine alınır: 12x^3 - 18x^2 = 6x^2·(2x - 3). Parantez içindeki işaret eksi kalmalıdır; artı alınırsa B şıkkı (6x^2·(2x + 3)) elde edilir ki bu 12x^3 + 18x^2'ye eşittir. Değişkenin ortak kuvveti x^2 yerine x alınıp parantez içi aynı bırakılırsa E şıkkı (6x·(2x - 3)) yazılır ki bu 12x^2 - 18x'e eşittir. Cevap A.
x^4 - 5x^2 + 4 ifadesinin çarpanlarına tam olarak ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C — (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)
x^2 = t denirse t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) olur. Geri yazılırsa (x^2 - 1)(x^2 - 4) elde edilir. Her iki çarpan da iki kare farkıdır: (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2). İkinci çarpanın işareti artı alınırsa D şıkkı (x - 1)(x + 1)(x^2 + 4) seçilir ki bu x^4 + 3x^2 - 4'e; birinci çarpanın işareti artı alınırsa E şıkkı (x^2 + 1)(x^2 - 4) seçilir ki bu x^4 - 3x^2 - 4'e eşittir. Cevap C.
20a^3b^2 - 15a^2b^3 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — 5a^2b^2(4a - 3b)
Katsayıların en büyük ortak böleni 5'tir. Harflerde ortak olan en küçük üsler alınır: a^2 ve b^2. Ortak çarpan 5a^2b^2 parantezine alınırsa 5a^2b^2(4a - 3b) bulunur. D (5a^2b(4a - 3b)), b'nin ortak üssünü b^2 yerine b alan, yani parantez dışına çıkarılabilecek çarpanı eksik bırakanların sonucudur. Cevap A.
49x^2 - 36 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (7x - 6)(7x + 6)
İfade iki kare farkıdır: 49x^2 = (7x)^2 ve 36 = 6^2. a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) özdeşliğiyle (7x - 6)(7x + 6) bulunur. A ((7x - 6)^2), iki kare farkını tam kare ile karıştıranların sonucudur. Cevap E.
x^2 + 12x + 36 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — (x + 6)^2
Baş terim x^2, son terim 6^2 ve orta terim 2 · x · 6 = 12x'tir. İfade tam kare açılımıdır: (x + 6)^2. C ((x - 6)(x + 6)), son terim 36 tam kare olduğu için doğrudan iki kare farkı uygulayan, ancak orta terimi gözden kaçıranların sonucudur. Cevap B.
63^2 - 37^2 işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: D — 2600
İki kare farkı özdeşliği uygulanır: (63 - 37)(63 + 37). 26 · 100 = 2600 bulunur. A (26), yalnızca çarpanlardan farkı yazıp toplamla çarpmayanların sonucudur. B (100) ise yalnızca toplamı yazanların hatasıdır. Cevap D.
a + b = 8 ve a · b = 15 olduğuna göre a^2 + b^2 kaçtır?
Doğru cevap: B — 34
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 özdeşliğinden a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab yazılır. 64 - 2 · 15 = 64 - 30 = 34 bulunur. C (49), 2ab yerine yalnızca ab çıkaranların sonucudur. A (30) ise sadece 2ab değerini yazanların hatasıdır. Cevap B.
x = 76 olmak üzere (x^2 - 25)/(x + 5) ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: C — 71
Pay iki kare farkıdır: x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5). (x + 5) sadeleşir ve ifade x - 5 olur: 76 - 5 = 71. E (81), sadeleştirmeden sonra x - 5 yerine x + 5 yazanların sonucudur. Cevap C.
x^3 + 125 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — (x + 5)(x^2 - 5x + 25)
Küp toplamı özdeşliği: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). Burada a = x ve b = 5 alınır: (x + 5)(x^2 - 5x + 25). D ((x + 5)(x^2 - 10x + 25)), ikinci çarpanı tam kare (x - 5)^2 sanarak orta terimi -5x yerine -10x yazanların sonucudur. Cevap A.
