Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Mutlak Değer konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 2. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
0 kolay9 orta6 zor
|x - 4| + 3 ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: E — 3
Mutlak değerli bir ifade hiçbir zaman negatif olamaz; |x - 4| ifadesinin en küçük değeri, x = 4 için elde edilen 0'dır. Buna göre ifadenin en küçük değeri 0 + 3 = 3 olur. Yalnızca mutlak değerin en küçüğü söylenip dışarıdaki 3 eklenmezse B seçeneği işaretlenir.
|x + 5| ≤ 2 ve |x| ≥ 4 koşullarını birlikte sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: C — 4
|x + 5| ≤ 2 eşitsizliği -2 ≤ x + 5 ≤ 2, yani -7 ≤ x ≤ -3 demektir. |x| ≥ 4 ise x ≤ -4 veya x ≥ 4 demektir. İki koşulun kesişimi -7 ≤ x ≤ -4 aralığıdır. Buradaki tam sayılar -7, -6, -5, -4 olmak üzere 4 tanedir. İkinci koşul göz ardı edilip yalnızca -7 ≤ x ≤ -3 sayılırsa 5 bulunur ve D seçeneği işaretlenir.
1 < |x - 3| < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: B — 4
Eşitsizlik iki kola ayrılır: 1 < x - 3 < 4 ise 4 < x < 7; 1 < 3 - x < 4 ise -1 < x < 2. Çözüm (-1, 2) ∪ (4, 7) birleşimidir ve buradaki tam sayılar 0, 1, 5, 6 olmak üzere 4 tanedir. Eşitsizlikler kesin olduğu hâlde uçlar kapalı sanılıp -1, 2, 4 ve 7 de sayılırsa 8 bulunur ve E seçeneği işaretlenir.
|a| = 3, |b| = 5 ve a · b < 0 olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: D — 2
|a| = 3 ise a = 3 veya a = -3; |b| = 5 ise b = 5 veya b = -5'tir. a · b < 0 koşulu a ile b'nin zıt işaretli olmasını gerektirir. İki durum kalır: a = 3, b = -5 için a + b = -2; a = -3, b = 5 için a + b = 2. En büyük değer 2'dir. Diğer durum seçilirse B seçeneği, işaret koşulu göz ardı edilip 3 + 5 = 8 alınırsa E seçeneği işaretlenir.
-3 ≤ x ≤ 1 ve -2 ≤ y ≤ 4 olduğuna göre, |x| + |y| ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: E — 7
|x| ifadesi, x mutlak değerce en büyük olduğunda en büyüktür: |-3| = 3 ile |1| = 1 karşılaştırılınca 3 bulunur. Benzer şekilde |y| için |-2| = 2 ile |4| = 4 karşılaştırılır ve 4 bulunur. En büyük değer 3 + 4 = 7'dir. Yalnızca sağ uçlar alınıp |1| + |4| = 5 hesaplanırsa D seçeneği işaretlenir; oysa negatif uçlar mutlak değerce daha büyük olabilir.
|x - 2| = 3 - x denkleminin çözüm kümesindeki x değeri kaçtır?
Doğru cevap: A — 5/2
Birinci durum: x ≥ 2 için x - 2 = 3 - x → 2x = 5 → x = 5/2 bulunur. Bu değer x ≥ 2 koşulunu sağlar, geçerlidir. İkinci durum: x < 2 için 2 - x = 3 - x → 2 = 3 çelişkisi doğar, kök yoktur. Ayrıca sağ taraf 3 - x negatif olamayacağından x ≤ 3 olmalıdır; 5/2 bu koşulu da sağlar. Sağ taraftaki 3 doğrudan kök sanılırsa B seçeneği işaretlenir.
| |x| - 3 | = 2 denkleminin kaç farklı gerçel kökü vardır?
Doğru cevap: C — 4
Dıştaki mutlak değer çözülür: |x| - 3 = 2 veya |x| - 3 = -2, yani |x| = 5 veya |x| = 1. |x| = 5 denklemi x = 5 ve x = -5 köklerini, |x| = 1 denklemi ise x = 1 ve x = -1 köklerini verir. Toplam 4 farklı kök vardır. Yalnızca bir iç denklem çözülüp 2 kök bulunursa A seçeneği işaretlenir.
|x + 1| ≤ 3 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B — -7
|x + 1| ≤ 3 eşitsizliği -3 ≤ x + 1 ≤ 3, yani -4 ≤ x ≤ 2 demektir. Bu aralıktaki tam sayılar -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2'dir. -2, -1, 0, 1, 2 kısmı toplamda sıfırlanır, geriye -4 + (-3) = -7 kalır. Aralık sıfıra göre simetrik sanılıp toplam 0 denirse E seçeneği işaretlenir.
|x - 3| < 2 olduğuna göre, 2x + 1 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Doğru cevap: D — 10
|x - 3| < 2 eşitsizliği -2 < x - 3 < 2, yani 1 < x < 5 demektir. Her taraf 2 ile çarpılıp 1 eklenir: 3 < 2x + 1 < 11. Sağ uç açık olduğundan en büyük tam sayı 10'dur. Uç kapalı sanılıp 2·5 + 1 = 11 alınırsa E seçeneği işaretlenir.
|x - 1| + |x + 3| = 8 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: E — -2
Kritik noktalar -3 ve 1'dir. x < -3 için (1 - x) + (-x - 3) = -2x - 2 = 8 → x = -5 bulunur; koşula uygundur. -3 ≤ x ≤ 1 için (1 - x) + (x + 3) = 4 olur ve 8'e eşitlenemez. x > 1 için (x - 1) + (x + 3) = 2x + 2 = 8 → x = 3 bulunur; koşula uygundur. Köklerin toplamı -5 + 3 = -2'dir. Yalnızca negatif kök alınırsa B seçeneği işaretlenir.
|x - 2| + |x + 4| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: D — 6
|x - 2| sayı doğrusunda x'in 2'ye, |x + 4| ise x'in -4'e olan uzaklığıdır. Bu iki uzaklığın toplamı, x sayısı -4 ile 2 arasında iken sabit kalır ve iki noktanın arasındaki uzaklığa, yani |2 - (-4)| = 6 değerine eşit olur. En küçük değer 6'dır. İki mutlak değer aynı anda sıfır olabilir sanılırsa A seçeneği, uzaklıkların toplamı yerine farkı olan 4 alınırsa C seçeneği işaretlenir.
|2x - 1| ≤ |x + 3| eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: C — 5
İki taraf da negatif olmadığından kareler alınabilir: (2x - 1)^2 ≤ (x + 3)^2. Düzenlenince 4x^2 - 4x + 1 ≤ x^2 + 6x + 9, yani 3x^2 - 10x - 8 ≤ 0 elde edilir. Bu ifade (3x + 2)(x - 4) ≤ 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır ve çözüm -2/3 ≤ x ≤ 4 olur. Buradaki tam sayılar 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 5 tanedir. Sol uç -2/3 yerine -1 sanılıp x = -1 de sayılırsa D seçeneği işaretlenir.
|a| = 4 ve |b| = 7 olduğuna göre, |a + b| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: A — 3
Üçgen eşitsizliğine göre |a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| olduğundan |a + b| değeri |4 - 7| = 3 ile 4 + 7 = 11 arasındadır. En küçük değere a ile b zıt işaretli iken ulaşılır: a = -4, b = 7 için |−4 + 7| = 3 bulunur. En büyük değer olan 11 ile karıştırılırsa D seçeneği, |b| = 7 doğrudan sonuç sanılırsa B seçeneği, |a| ile |b| çarpılırsa E seçeneği işaretlenir.
|x| ≤ 5 ve |y| ≤ 3 olduğuna göre, |x - y| ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: E — 8
|x| ≤ 5 ise -5 ≤ x ≤ 5, |y| ≤ 3 ise -3 ≤ y ≤ 3'tür. |x - y| en büyük değerini x ile y mümkün olduğunca uzak seçildiğinde alır: x = 5, y = -3 için |5 - (-3)| = 8 ya da x = -5, y = 3 için |-5 - 3| = 8 bulunur. En büyük değer 8'dir. Sınırların farkı olan 5 - 3 = 2 alınırsa A seçeneği işaretlenir; oysa y negatif seçilerek fark büyütülebilir.
0 < x < 4 olmak üzere |x - 4|/(x - 4) + |x|/x ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: B — 0
0 < x < 4 koşulunda x - 4 < 0 olduğundan |x - 4| = 4 - x'tir ve birinci terim (4 - x)/(x - 4) = -1 olur. Aynı koşulda x > 0 olduğundan |x| = x'tir ve ikinci terim x/x = 1 olur. İfadenin değeri -1 + 1 = 0'dır. Örneğin x = 2 için 2/(-2) + 2/2 = -1 + 1 = 0 doğrulanır. Her iki mutlak değer içi de pozitif sanılırsa 1 + 1 = 2 bulunup D seçeneği, her ikisi de negatif sanılırsa -1 + (-1) = -2 bulunup A seçeneği işaretlenir.
