Mutlak Değer — Test 4

Doğru cevap: D — 4

|x| = 6 ise x = 6 veya x = -6; |y| = 2 ise y = 2 veya y = -2'dir. x · y > 0 koşulu x ile y'nin aynı işaretli olmasını gerektirir. İki durum kalır: x = 6, y = 2 için x - y = 4; x = -6, y = -2 için x - y = -4. En büyük değer 4'tür. Diğer durum seçilirse B seçeneği, işaret koşulu göz ardı edilip 6 - (-2) = 8 alınırsa E seçeneği işaretlenir.

Doğru cevap: E — 35

|x - 5| ≤ 3 eşitsizliği -3 ≤ x - 5 ≤ 3, yani 2 ≤ x ≤ 8 demektir. Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8'dir ve toplamları (2 + 8)·7/2 = 35 olur. Uç noktalar çözüme katılmayıp yalnızca 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 hesaplanırsa B seçeneği işaretlenir.

Doğru cevap: A — 8

Eşitsizlik iki kola ayrılır: 2 ≤ x + 1 ≤ 5 ise 1 ≤ x ≤ 4; 2 ≤ -(x + 1) ≤ 5 ise -5 ≤ x + 1 ≤ -2, yani -6 ≤ x ≤ -3 olur. Çözüm [-6, -3] ∪ [1, 4] birleşimidir ve her aralıkta 4'er tam sayı bulunur; toplam 8'dir. Alt sınır koşulu göz ardı edilip yalnızca |x + 1| ≤ 5, yani -6 ≤ x ≤ 4 sayılırsa 11 bulunur ve D seçeneği işaretlenir.

Doğru cevap: B — (4, ∞)

|x - 2| ifadesi x'in 2'ye, |x - 6| ise 6'ya olan uzaklığıdır. Eşitsizlik, x'in 2'ye 6'dan daha uzak olmasını istemektedir; bu da x'in orta nokta olan 4'ten büyük olması demektir. Kareler alınarak da doğrulanır: (x - 2)^2 > (x - 6)^2 → -4x + 4 > -12x + 36 → 8x > 32 → x > 4. Çözüm (4, ∞) aralığıdır. Eşitsizliğin yönü ters okunursa A seçeneği, kesin eşitsizlik olduğu hâlde x = 4 alınırsa C seçeneği işaretlenir.

Doğru cevap: C — 1

Mutlak değerli ifadeler negatif olamaz; toplamları sıfır ise her biri ayrı ayrı sıfır olmalıdır. Buradan a - 3 = 0 → a = 3 ve b + 2 = 0 → b = -2 bulunur. Toplam a + b = 3 + (-2) = 1'dir. b = 2 alınırsa 5 çıkar ve D seçeneği, a = -3 alınırsa -1 çıkar ve B seçeneği, her iki işaret de ters alınırsa -5 çıkar ve A seçeneği işaretlenir.

Doğru cevap: D — 4

|x - 1| ifadesi, x sayısının 1'e olan uzaklığıdır. Aralığın uçları denenir: x = -2 için |-2 - 1| = 3, x = 5 için |5 - 1| = 4 bulunur. En büyük değer 4'tür. Sol uç sonucu olan 3 seçilirse C seçeneği, aralığın uzunluğu olan 5 - (-2) = 7 alınırsa E seçeneği işaretlenir.

Doğru cevap: E — 5

|x| ifadesi x'in 0'a, |x - 4| ise 4'e olan uzaklığıdır. Bu iki uzaklığın toplamı, ancak x sayısı 0 ile 4 arasında (uçlar dâhil) iken 4'e eşit olur. Çözüm kümesi [0, 4] aralığıdır ve buradaki tam sayılar 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 5 tanedir. Denklem yalnızca uç noktalarda sağlanıyor sanılıp 0 ile 4 sayılırsa B seçeneği işaretlenir.

Doğru cevap: A — -4

3 - 2x = 5 → -2x = 2 → x = -1 ve 3 - 2x = -5 → -2x = -8 → x = 4 bulunur. Köklerin çarpımı (-1)·4 = -4'tür. Çarpım yerine toplam alınırsa -1 + 4 = 3 çıkar ve C seçeneği, yalnızca bir kök yazılırsa B veya D seçenekleri işaretlenir.

Doğru cevap: B — 1

|x + 2| < 3 eşitsizliği -3 < x + 2 < 3, yani -5 < x < 1 demektir. Her taraf -1 ile çarpılınca yön değişir: -1 < -x < 5. Buna 1 eklenirse 0 < 1 - x < 6 bulunur. Sol uç açık olduğundan en küçük tam sayı 1'dir. Uç kapalı sanılıp 1 - 1 = 0 alınırsa A seçeneği, en küçük yerine en büyük değer aranıp 6 denirse E seçeneği işaretlenir.

Doğru cevap: C — 3

Kritik noktalar -2 ve 5'tir. x < -2 için (-x - 2) + (5 - x) = 3 - 2x = 11 → x = -4 bulunur; koşula uygundur. -2 ≤ x ≤ 5 için (x + 2) + (5 - x) = 7 olur ve 11'e eşitlenemez. x > 5 için (x + 2) + (x - 5) = 2x - 3 = 11 → x = 7 bulunur; koşula uygundur. Köklerin toplamı -4 + 7 = 3'tür. Yalnızca bir kök alınırsa A veya D seçeneği, denklemin sağ tarafı sonuç sanılırsa E seçeneği işaretlenir.

Doğru cevap: D — (-∞, -1/2] ∪ [3, ∞)

İki taraf da negatif olmadığından kareler alınabilir: (3x - 2)^2 ≥ (x + 4)^2. Düzenlenince 9x^2 - 12x + 4 ≥ x^2 + 8x + 16, yani 8x^2 - 20x - 12 ≥ 0 elde edilir. Dört ile sadeleştirilip çarpanlara ayrılınca (2x + 1)(x - 3) ≥ 0 olur; kökler -1/2 ve 3'tür. Baş katsayı pozitif olduğundan çözüm kökler dışıdır: (-∞, -1/2] ∪ [3, ∞). İşaret tablosu ters okunursa A seçeneği, eşitlik atlanırsa B seçeneği, yalnızca bir kol yazılırsa E seçeneği işaretlenir.

Doğru cevap: A — 4

|a| = 5 ise a = 5 veya a = -5; |b| = 9 ise b = 9 veya b = -9'dur. Dört durum incelenir: |5 - 9| = 4, |5 + 9| = 14, |-5 - 9| = 14, |-5 + 9| = 4. En küçük değer 4'tür; bu, üçgen eşitsizliğindeki | |a| - |b| | = |5 - 9| = 4 alt sınırıdır. En büyük değer olan 14 ile karıştırılırsa D seçeneği, çarpım hesaplanırsa E seçeneği işaretlenir.

Doğru cevap: E — -6

|x| ifadesi 0 ile 4 arasında, |y| ifadesi 0 ile 6 arasında değer alır. Fark en küçük olsun diye |x| en küçük (0) ve |y| en büyük (6) seçilir: 0 - 6 = -6. Bu değere örneğin x = 0, y = 6 için ulaşılır; en küçük değer -6'dır. Mutlak değerler göz ardı edilip x = -4, y = 6 ile -4 - 6 = -10 hesaplanırsa B seçeneği işaretlenir; oysa |x| ifadesi negatif olamaz.

Doğru cevap: B — 8

Dıştaki mutlak değer çözülür: |x - 2| - 5 = 3 veya |x - 2| - 5 = -3, yani |x - 2| = 8 veya |x - 2| = 2. |x - 2| = 8 denklemi x = 10 ve x = -6 köklerini verir; |x - 2| = 2 denklemi x = 4 ve x = 0 köklerini verir. Dört kökün toplamı 10 + (-6) + 4 + 0 = 8'dir. Yalnızca |x - 2| = 2 durumu çözülüp 4 + 0 = 4 denirse A seçeneği işaretlenir. Negatif kökler gözden kaçırılıp yalnızca 10 yazılırsa C seçeneği işaretlenir.

Doğru cevap: C — 0

a < 0 olduğundan |a| = −a, b > 0 olduğundan |b| = b'dir. Ayrıca a − b < 0 olduğundan |a − b| = b − a yazılır. İfade (−a) + b − (b − a) = −a + b − b + a = 0 olur. Örneğin a = −3, b = 5 için 3 + 5 − |−8| = 8 − 8 = 0 doğrulanır. Yalnızca |a| = a alınırsa a + b − (b − a) = 2a çıkar ve A seçeneği işaretlenir. |a| = a ile birlikte |a − b| = a − b de alınırsa a + b − (a − b) = 2b çıkar ve D seçeneği işaretlenir.