Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Mutlak Değer konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 5. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
3 kolay11 orta1 zor
x > 5 olmak üzere, |5 - x| + 2 ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — x - 3
x > 5 olduğundan 5 - x farkı negatiftir ve mutlak değer işaret değiştirir: |5 - x| = x - 5. İfade yerine konur: (x - 5) + 2 = x - 3. Örneğin x = 6 için |5 - 6| + 2 = 3 ve 6 - 3 = 3 uyumludur. Mutlak değer içini olduğu gibi bırakan öğrenci (5 - x) + 2 = 7 - x bulur. Cevap E.
|x - 3| - |x + 1| = 4 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C — (-∞, -1]
Kritik noktalar -1 ve 3'tür. x ≤ -1 için x - 3 negatiftir, x + 1 ise pozitif değildir (x = -1'de sıfır olur); bu durumda (3 - x) - (-x - 1) = 4 olur ve eşitlik bütün bu değerlerde sağlanır. -1 < x < 3 için (3 - x) - (x + 1) = 2 - 2x = 4 denkleminden x = -1 çıkar; bu değer aralığın dışındadır. x ≥ 3 için (x - 3) - (x + 1) = -4 olur ve 4'e eşit olamaz. Çözüm kümesi (-∞, -1] aralığıdır. Yalnızca kritik noktayı kök sanan öğrenci B'deki {-1} kümesini işaretler; oysa sonsuz çoklukta çözüm vardır. Cevap C.
|5 - 2x| < 7 eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (-1, 6)
Eşitsizlik -7 < 5 - 2x < 7 biçiminde yazılır. Her taraftan 5 çıkarılır: -12 < -2x < 2. Her taraf negatif olan -2'ye bölündüğünden yönler değişir: 6 > x > -1, yani -1 < x < 6. Baştaki -2x ifadesinin işaretini gözden kaçırıp -12 < 2x < 2 biçiminde işlem yapan öğrenci -6 < x < 1 bulur ve A seçeneğindeki (-6, 1) aralığını işaretler. Cevap E.
| |-5| - |3| | işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: B — 2
İçteki mutlak değerler hesaplanır: |-5| = 5 ve |3| = 3. Fark alınır: 5 - 3 = 2 ve dıştaki mutlak değerle |2| = 2 bulunur. İçteki iki mutlak değeri çıkarmak yerine toplayan öğrenci 5 + 3 = 8 bulur. Cevap B.
|3x + 2| ≤ 7 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: C — 5
Eşitsizlik -7 ≤ 3x + 2 ≤ 7 biçiminde yazılır. Her taraftan 2 çıkarılır: -9 ≤ 3x ≤ 5. Her taraf pozitif 3'e bölünür: -3 ≤ x ≤ 5/3. Bu aralıktaki tam sayılar -3, -2, -1, 0, 1 olmak üzere 5 tanedir. Alt sınır olan -3 değerini eşitlik sağlandığı hâlde çözüme katmayan öğrenci 4 bulur. Cevap C.
|x - 4| = |2x + 1| denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
Doğru cevap: D — -5
İki mutlak değerin eşitliğinde içler ya eşittir ya da birbirinin ters işaretlisidir. Birinci durum: x - 4 = 2x + 1 → x = -5. İkinci durum: x - 4 = -(2x + 1) → 3x = 3 → x = 1. Köklerin çarpımı: (-5) · 1 = -5. Çarpım yerine köklerin toplamını hesaplayan öğrenci -5 + 1 = -4 bulur. Cevap D.
0 < x < 6 olmak üzere, |x| - |x - 6| ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — 2x - 6
0 < x olduğundan |x| = x'tir. x < 6 olduğundan x - 6 negatiftir ve |x - 6| = 6 - x olur. İfade yerine konur: x - (6 - x) = x - 6 + x = 2x - 6. Örneğin x = 1 için 1 - 5 = -4 ve 2·1 - 6 = -4 uyumludur. Çıkarma sırasını ters çevirip x - (6 - x) yerine (6 - x) - x işlemini yapan öğrenci B'deki 6 - 2x sonucunu bulur; parantezi açarken işareti dağıtmayı unutan öğrenci ise x - 6 - x = -6 diyerek C'yi işaretler. Cevap A.
|a - 2| + |b + 4| + |c - 1| = 0 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B — -1
Mutlak değerler negatif olamaz; negatif olmayan üç sayının toplamı ancak hepsi sıfırken sıfır olur. Buradan a - 2 = 0, b + 4 = 0 ve c - 1 = 0, yani a = 2, b = -4, c = 1 bulunur. Toplam: 2 + (-4) + 1 = -1. İşaretleri gözden kaçırıp b'yi 4 alan öğrenci 2 + 4 + 1 = 7 bulur; |b + 4| = 0 eşitliği b = -4 verir. Cevap B.
|x - 1| ≥ 4 ve |x| ≤ 8 koşullarını birlikte sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: C — 10
Birinci koşul: x - 1 ≤ -4 veya x - 1 ≥ 4, yani x ≤ -3 veya x ≥ 5. İkinci koşul: -8 ≤ x ≤ 8. Kesişimde -8 ile -3 arasındaki 6 tam sayı ve 5 ile 8 arasındaki 4 tam sayı bulunur: toplam 10. Sınır değerlerden birini (örneğin x = -3'ü) eşitlik sağlandığı hâlde saymayan öğrenci 9 bulur. Cevap C.
|2x - 1| = 5 - x denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C — -2
Birinci durum: 2x - 1 = 5 - x → 3x = 6 → x = 2. Sağ taraf 5 - 2 = 3 ≥ 0 olduğundan kök geçerlidir. İkinci durum: 2x - 1 = -(5 - x) → 2x - 1 = x - 5 → x = -4. Sağ taraf 5 - (-4) = 9 ≥ 0 olduğundan bu kök de geçerlidir. Köklerin toplamı: 2 + (-4) = -2. Yalnızca birinci durumu çözüp negatif hâli incelemeyen öğrenci 2 bulur. Cevap C.
-3 ≤ x ≤ 2 olduğuna göre, |x + 1| ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: D — 3
|x + 1| ifadesi, x sayısının -1 noktasına uzaklığıdır. En büyük uzaklık uç noktalarda aranır: |-3 + 1| = 2 ve |2 + 1| = 3. Bunların büyüğü 3 olduğundan en büyük değer 3'tür. Yalnızca sol uç noktayı deneyen öğrenci 2 bulur; iki uç da karşılaştırılmalıdır. Cevap D.
Bir gerçel sayının 4'e olan uzaklığı, aynı sayının -2'ye olan uzaklığının 2 katıdır. Bu koşulu sağlayan sayıların toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A — -8
Koşul mutlak değerle yazılır: |x - 4| = 2·|x + 2|. Birinci durum: x - 4 = 2(x + 2) → x - 4 = 2x + 4 → x = -8. İkinci durum: x - 4 = -2(x + 2) → x - 4 = -2x - 4 → 3x = 0 → x = 0. Sayıların toplamı: -8 + 0 = -8. Yalnızca ikinci durumu çözen öğrenci tek kök bulur ve 0 der. Cevap A.
|x| < 4 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının kareleri toplamı kaçtır?
Doğru cevap: E — 28
|x| < 4 eşitsizliği -4 < x < 4 anlamına gelir; buradaki tam sayılar -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3'tür. Kareleri toplanır: 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 28. Yalnızca negatif olmayan değerlerin karelerini toplayan öğrenci 0 + 1 + 4 + 9 = 14 bulur; negatif sayıların kareleri de pozitiftir ve toplama katılır. Cevap E.
|2x - 6| ≤ 8 olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Doğru cevap: B — -1
Eşitsizlik -8 ≤ 2x - 6 ≤ 8 biçiminde yazılır. Her tarafa 6 eklenir: -2 ≤ 2x ≤ 14. Her taraf pozitif 2'ye bölünür: -1 ≤ x ≤ 7. Buna göre en küçük tam sayı değeri -1'dir. Her tarafa 6 eklemeyi unutup -8 ≤ 2x ≤ 8'den -4 ≤ x ≤ 4 bulan öğrenci -4 der. Cevap B.
|4 - x| = 9 denklemini sağlayan x değerlerinin farkı (büyük değer - küçük değer) kaçtır?
Doğru cevap: C — 18
Mutlak değer içi 9 ya da -9 olabilir: 4 - x = 9 → x = -5 ve 4 - x = -9 → x = 13. Büyük değerden küçük değer çıkarılır: 13 - (-5) = 18. Soruda farkın istendiğini gözden kaçırıp köklerin toplamını hesaplayan öğrenci -5 + 13 = 8 bulur. Cevap C.
