Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Mutlak Değer konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 120 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 6. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
7 kolay8 orta0 zor
Sayı doğrusunda 4 sayısına uzaklığı 7 birimden küçük olan kaç tane tam sayı vardır?
Doğru cevap: E — 13
Uzaklık koşulu mutlak değerle yazılır: |x - 4| < 7. Bu eşitsizlik -7 < x - 4 < 7, yani -3 < x < 11 anlamına gelir. Aradaki tam sayılar -2'den 10'a kadar olan 13 sayıdır. Yalnızca 0 ile 10 arasındaki sayıları sayıp negatif tarafı gözden kaçıran öğrenci 11 bulur. Cevap E.
|x + 3| = -2 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — ∅
Bir gerçel sayının mutlak değeri uzaklık belirttiğinden hiçbir zaman negatif olamaz. Sağ taraf -2 negatif olduğundan denklemi sağlayan hiçbir x değeri yoktur; çözüm kümesi boş kümedir. Kuralı işletip x + 3 = 2 ve x + 3 = -2 durumlarını çözen öğrenci {-5, -1} bulur; oysa denklemin bu biçimde çözülebilmesi için sağ tarafın negatif olmaması gerekir. Cevap A.
|x - 1| ≥ 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — R
Mutlak değer daima sıfırdan büyük ya da sıfıra eşittir. Bu nedenle |x - 1| ≥ 0 eşitsizliği her gerçel x için sağlanır ve çözüm kümesi bütün gerçel sayılar kümesi R olur. Eşitsizliği |x - 1| = 0 gibi çözen öğrenci yalnızca {1} kümesini yazar; oysa eşitlik yalnızca özel bir durumdur. Cevap D.
|2x| < 6 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: B — 5
Her iki taraf pozitif 2'ye bölünür: |x| < 3. Bu eşitsizlik -3 < x < 3 anlamına gelir ve buradaki tam sayılar -2, -1, 0, 1, 2 olmak üzere 5 tanedir. Yalnızca 0 ve pozitif değerleri (0, 1, 2) sayıp negatif tarafı unutan öğrenci 3 bulur. Cevap B.
x < 3 olmak üzere, |x - 3| ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — 3 - x
x < 3 olduğundan x - 3 farkı negatiftir. Mutlak değer içi negatif olduğunda ifade işaret değiştirerek çıkar: |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x. Örneğin x = 0 için |0 - 3| = 3 ve 3 - 0 = 3 uyumludur. İçi olduğu gibi bırakan öğrenci x - 3 yazar; bu ifade verilen koşulda negatif değer alacağından mutlak değere eşit olamaz. Cevap A.
a < 0 olmak üzere, |a| + a ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — 0
a negatif olduğundan |a| = -a'dır. İfade yerine konur: (-a) + a = 0. Örneğin a = -5 için |-5| + (-5) = 5 - 5 = 0 bulunur. Mutlak değeri olduğu gibi kaldırıp a + a = 2a yazan öğrenci hata yapar; negatif sayının mutlak değeri işaret değiştirir. Cevap A.
Sayı doğrusunda A noktası -4, B noktası 3 sayısına karşılık gelmektedir. Buna göre |AB| uzunluğu kaç birimdir?
Doğru cevap: E — 7
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatların farkının mutlak değeridir: |AB| = |-4 - 3|. |-7| = 7 olduğundan uzunluk 7 birimdir. Fark yerine toplam alan öğrenci |-4 + 3| = 1 bulur; uzaklık daima farkla hesaplanır. Cevap E.
|3 - x| - |x + 2| ifadesinin x = -1 için değeri kaçtır?
Doğru cevap: C — 3
x yerine -1 yazılır: |3 - (-1)| - |-1 + 2| = |4| - |1|. Mutlak değerler hesaplanır: 4 - 1 = 3. İki mutlak değeri çıkarmak yerine toplayan öğrenci 4 + 1 = 5 bulur. Cevap C.
|x - 1| + |x - 4| ≥ 3 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — R
|x - 1| + |x - 4| toplamı, x sayısının 1 ve 4 noktalarına uzaklıklarının toplamıdır. Bu toplam en küçük değerini x, 1 ile 4 arasındayken alır ve o durumda iki nokta arasındaki uzaklığa, yani 3'e eşittir. Toplam hiçbir zaman 3'ten küçük olamayacağından eşitsizlik her gerçel x için sağlanır: çözüm kümesi R'dir. Yalnızca eşitliğin sağlandığı durumu çözüm sanan öğrenci [1, 4] aralığını işaretler; oysa aralık dışında toplam 3'ten büyüktür. Cevap E.
|2x - 3| = x + 1 denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: D — 14/3
Mutlak değer içi pozitif alınırsa 2x - 3 = x + 1 → x = 4 bulunur; sağ taraf 5 > 0 olduğundan kök geçerlidir. Mutlak değer içi negatif alınırsa -(2x - 3) = x + 1 → 3 - 2x = x + 1 → x = 2/3 bulunur; sağ taraf 5/3 > 0 olduğundan bu kök de geçerlidir. Köklerin toplamı: 4 + 2/3 = 14/3. Yalnızca birinci durumu çözüp negatif hâli unutan öğrenci 4 bulur. Cevap D.
|x - 2| = 2x - 7 denkleminin kaç gerçel kökü vardır?
Doğru cevap: A — 1
Birinci durum: x - 2 = 2x - 7 → x = 5. Bu değerde sağ taraf 2·5 - 7 = 3 olup negatif değildir, kök geçerlidir. İkinci durum: -(x - 2) = 2x - 7 → 2 - x = 2x - 7 → x = 3. Bu değerde sağ taraf 2·3 - 7 = -1 olup negatiftir; mutlak değer negatif olamayacağından bu kök geçersizdir. Geriye tek geçerli kök kalır. Sağlama yapmadan her iki durumu da kök kabul eden öğrenci 2 der. Cevap A.
|x|^2 - 3|x| + 2 = 0 denkleminin kaç farklı gerçel kökü vardır?
Doğru cevap: C — 4
|x| = t denirse t^2 - 3t + 2 = 0 olur ve (t - 1)(t - 2) = 0 çarpanlarından t = 1 ile t = 2 bulunur. |x| = 1 eşitliğinden x = 1 ve x = -1; |x| = 2 eşitliğinden x = 2 ve x = -2 elde edilir. Böylece dört farklı gerçel kök vardır. t değerlerini doğrudan kök sanıp yalnızca 1 ve 2'yi yazan öğrenci 2 der; her mutlak değer eşitliği iki kök verir. Cevap C.
|x + 1| < |x - 5| eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — (-∞, 2)
Eşitsizlik, x sayısının -1'e olan uzaklığının 5'e olan uzaklığından küçük olması demektir. İki noktanın orta noktası (-1 + 5)/2 = 2 olduğundan, bu koşulu 2'nin solundaki bütün sayılar sağlar: x < 2. Aynı sonuç iki tarafın karesi alınarak da bulunur: (x + 1)^2 < (x - 5)^2 → 12x < 24 → x < 2. Eşitsizliği ters okuyup 5'e daha yakın noktaları alan öğrenci (2, ∞) seçeneğini işaretler. Cevap B.
|3 - x| ≤ 4 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
Doğru cevap: D — 27
Eşitsizlik -4 ≤ 3 - x ≤ 4 biçiminde yazılır. Her taraftan 3 çıkarılıp -1 ile çarpılırsa (yönler değişir) -1 ≤ x ≤ 7 bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar -1, 0, 1, ..., 7 olup toplamları -1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27'dir. Negatif uç olan -1'i toplamaya katmayan öğrenci 28 bulur. Cevap D.
a < 0 < b ve |a| > |b| olmak üzere, |a + b| ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — -a - b
a negatif, b pozitif ve a'nın mutlak değeri daha büyük olduğundan a + b toplamı negatiftir. Mutlak değer içi negatif olduğunda ifade işaret değiştirir: |a + b| = -(a + b) = -a - b. Örneğin a = -5 ve b = 2 için |a + b| = |-3| = 3 ve -a - b = 5 - 2 = 3 uyumludur. Mutlak değeri doğrudan kaldırıp a + b yazan öğrenci hata yapar; bu ifade verilen koşulda negatiftir. |a + b| = |a| + |b| sanan öğrenci ise -a + b, yani b - a ifadesini seçer; eşitlik ancak a ile b aynı işaretli olduğunda geçerlidir. Cevap D.
