Mutlak Değer — Test 7

Doğru cevap: E — (-5, 5)

Dıştaki mutlak değer çözülür: -3 < |x| - 2 < 3, yani -1 < |x| < 5. Mutlak değer zaten daima sıfırdan büyük ya da sıfıra eşit olduğundan -1 < |x| koşulu bir kısıt getirmez. Geriye |x| < 5, yani -5 < x < 5 kalır. -1 < |x| koşulunu da sınırlayıcı sanıp |x| > 1 gibi yorumlayan öğrenci (-5, -1) ∪ (1, 5) seçeneğini işaretler. Cevap E.

Doğru cevap: E — 1

x < 2 olduğundan x - 2 negatiftir ve |x - 2| = 2 - x yazılır. İfade sadeleşir: (2 - x)/(2 - x) = 1. Örneğin x = 0 için |0 - 2| / (2 - 0) = 2/2 = 1 bulunur. Mutlak değeri içi olduğu gibi açıp (x - 2)/(2 - x) = -1 diyen öğrenci hata yapar. Cevap E.

Doğru cevap: A — 3

Kritik noktalar 0 ve 3'tür. x < 0 için ifade -3x + 3, 0 ≤ x ≤ 3 için 2x + (3 - x) = x + 3, x > 3 için 3x - 3'e eşittir. Birinci parça x arttıkça azalır, üçüncü parça artar; ortadaki parça x + 3 ise en küçük değerini x = 0'da alır. x = 0 için ifade 2·0 + |0 - 3| = 3 olur ve bu en küçük değerdir. En küçük değerin x = 3'te oluştuğunu sanan öğrenci 2·3 + 0 = 6 bulur. Cevap A.

Doğru cevap: C — 6

Birinci koşul: |x + 3| ≥ 2 ise x + 3 ≤ -2 veya x + 3 ≥ 2, yani x ≤ -5 veya x ≥ -1. İkinci koşul: |x| ≤ 4 ise -4 ≤ x ≤ 4. İki koşulun kesişimi -1 ≤ x ≤ 4 aralığıdır; buradaki tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 6 tanedir. x = -1 değerinde |x + 3| = 2 olduğu hâlde eşitliği çözüme katmayan öğrenci 5 bulur. Cevap C.

Doğru cevap: D — 10

Üçgen eşitsizliğinden |a - c| = |(a - b) + (b - c)| ≤ |a - b| + |b - c| = 6 + 4 = 10 olur. Eşitlik, a - b ile b - c aynı işaretli olduğunda sağlanır; örneğin b = 0, a = 6, c = -4 için |a - c| = 10'dur. En büyük yerine en küçük değeri hesaplayan öğrenci |6 - 4| = 2 bulur; 2 değeri alt sınırdır. Cevap D.

Doğru cevap: E — 8

Mutlak değerli eşitsizlik çözülür: -10 ≤ 2x + 4 ≤ 10, yani -14 ≤ 2x ≤ 6 ve -7 ≤ x ≤ 3. 3x - 1 ifadesi x ile birlikte arttığından en büyük değerini x = 3 için alır: 3·3 - 1 = 8. x'in en küçük değerini kullanan öğrenci 3·(-7) - 1 = -22 bulur; bu değer ifadenin en küçüğüdür. Cevap E.

Doğru cevap: B — 5

|x - 3| ifadesi, x sayısının 3'e uzaklığıdır. Aralıkta 3 sayısı bulunduğundan en küçük değer x = 3 için 0'dır. En büyük uzaklık uç noktalarda aranır: |-2 - 3| = 5 ve |6 - 3| = 3; bunların büyüğü 5'tir. Toplam 5 + 0 = 5 olur. En küçük değeri de bir uç noktada arayıp 3 kabul eden öğrenci 5 + 3 = 8 bulur; oysa aralık 3 sayısını içerdiğinden uzaklık sıfır olabilir. Cevap B.

Doğru cevap: B — 6

İfade, x sayısının -2, 1 ve 4 noktalarına uzaklıklarının toplamıdır. Tek sayıda nokta olduğunda toplam, ortadaki noktada (medyanda) en küçük olur; buradaki orta nokta 1'dir. x = 1 için toplam: 0 + 3 + 3 = 6. Uç noktalardan biri olan x = -2'de hesap yapan öğrenci 3 + 0 + 6 = 9 bulur. Cevap B.

Doğru cevap: C — 4

Mutlak değer içi 3 ya da -3 olabilir. Birinci durum: x^2 - 4 = 3 → x^2 = 7 → x = √7 ve x = -√7. İkinci durum: x^2 - 4 = -3 → x^2 = 1 → x = 1 ve x = -1. Her iki durum da gerçel kök verdiğinden toplam 4 farklı kök vardır. Yalnızca x^2 = 1 durumunu dikkate alan öğrenci 2 der. Cevap C.

Doğru cevap: D — 13

|x| değerine göre durumlar incelenir. |x| = 0 ise |y| ≤ 2 olur ve y için 5 seçenek vardır. |x| = 1 ise (x = 1 veya x = -1) |y| ≤ 1 olur ve y için 3 seçenek bulunur: 2 · 3 = 6 ikili. |x| = 2 ise (x = 2 veya x = -2) yalnızca y = 0 olabilir: 2 ikili. Toplam: 5 + 6 + 2 = 13. Koşulu |x| ≤ 2 ve |y| ≤ 2 gibi ayrı ayrı düşünen öğrenci 5 · 5 = 25 ikili sayar; oysa toplamın 2'yi aşmaması gerekir. Cevap D.

Doğru cevap: A — 3

Birinci koşul: -3 < x - 2 < 3, yani -1 < x < 5. İkinci koşul: x + 1 < -2 veya x + 1 > 2, yani x < -3 veya x > 1. İki koşulun kesişimi 1 < x < 5 aralığıdır; buradaki tam sayılar 2, 3, 4 olmak üzere 3 tanedir. İkinci koşulu |x + 1| ≥ 2 gibi okuyup x = 1 değerini de sayan öğrenci 4 bulur; oysa x = 1 için |x + 1| = 2'dir ve eşitsizlik kesindir. Cevap A.

Doğru cevap: B — -48

|a| = 6 için a = 6 veya a = -6; |b| = 8 için b = 8 veya b = -8'dir. Aynı işaretli seçimlerde |a + b| = 14 olur; bu koşulu sağlamaz. Zıt işaretli seçimlerde |a + b| = |6 - 8| = 2 olur ve koşul sağlanır. Her iki durumda da çarpım 6·(-8) = -48 ya da (-6)·8 = -48'dir. İşaretleri göz ardı edip mutlak değerleri çarpan öğrenci 48 bulur. Cevap B.

Doğru cevap: A — 7

Mutlak değer içi 3 ya da -3 olabilir: 7 - 2x = 3 → x = 2 ve 7 - 2x = -3 → x = 5. Köklerin toplamı: 2 + 5 = 7. Toplam yerine köklerin çarpımını hesaplayan öğrenci 2 · 5 = 10 bulur. Cevap A.

Doğru cevap: B — 10

Önce mutlak değerler hesaplanır: |-3| = 3, |4| = 4, |-6| = 6 ve |3| = 3. İşlem önceliğine göre çarpma ve bölme yapılır: 3 · 4 = 12 ve 6 ÷ 3 = 2. Son olarak çıkarma yapılır: 12 - 2 = 10. İşlem önceliğini gözetmeyip soldan sağa ilerleyen ve (12 - 6) ÷ 3 hesaplayan öğrenci 2 bulur. Cevap B.

Doğru cevap: C — {-5, 5}

Mutlak değeri 5 olan sayılar, sayı doğrusunda sıfıra uzaklığı 5 birim olan sayılardır. Bu koşulu hem 5 hem de -5 sağlar; çözüm kümesi {-5, 5} olur. Yalnızca pozitif kökü yazan öğrenci {5} kümesini işaretler; mutlak değer denklemlerinde negatif hâl de incelenmelidir. Sıfırı da çözüme katan öğrenci ise {-5, 0, 5} kümesini seçer; oysa |0| = 0 olup 5'e eşit değildir. Cevap C.